Résumé
Soit p un nombre premier impair. En utilisant des arguments modulaires, on établit un critère permettant souvent de démontrer le théorème de Fermat sur le corps quadratique \({\mathbb Q}\bigl (\sqrt{5}\bigr )\) pour l’exposant p. Il s’exprime en termes du résultant de Wendt des polynômes \(X^n-1\) et \((X+1)^n-1\). On en déduit le théorème de Fermat sur ce corps pour p si l’on a \(5\le p< 10^7\), et on obtient des résultats analogues au critère de Sophie Germain.
Abstract
Let p be an odd prime number. Using modular arguments, we give an easy testable condition which allows often to prove Fermat’s Last Theorem over the quadratic field \({\mathbb Q}\bigl (\sqrt{5}\bigr )\) for the exponent p. It is related to Wendt’s resultant of the polynomials \(X^n-1\) and \((X+1)^n-1\). We deduce Fermat’s Last Theorem over this field for p in case one has \(5\le p<10^7\), and we obtain results analogous to Sophie Germain type criteria.
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Kraus, A. Sur le théorème de Fermat sur \({\mathbb Q}\big (\sqrt{5}\big )\) . Ann. Math. Québec 39, 49–59 (2015). https://doi.org/10.1007/s40316-015-0030-x
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