Journal für Mathematik-Didaktik

, Volume 40, Issue 2, pp 169–195

# Functional Thinking—A Three-Dimensional Construct?

• Michaela Lichti
• Jürgen Roth
Originalarbeit/Original Article

## Abstract

Functional relationships are fundamental for mathematics education in every grade. They are also relevant for other subjects such as politics and form part of our everyday life. Students are confronted with functional relationships consciously and unconsciously, and thereby develop functional thinking (FT) even in early grades. Functional thinking is commonly described by the aspects mapping, covariation, and function as object. Nevertheless, whether these aspects can be seen as separate dimensions of FT or whether FT should be treated as a one-dimensional construct has not yet been verified empirically. Therefore, this study was concerned with constructing and validating a test to measure FT that offers insight into its psychometric structure in its beginnings. We first operationalized FT according to the three abovenamed aspects, using the different forms of representation in which functional relationships occur (table, graph, verbal description). The appropriate use of and change between these forms was considered an indication of FT. After developing items to test FT, their fit to the operationalization was controlled (expert rating: N = 2, κ = 0.86). Thereafter, a test was created and implemented among students at the age of 12 to 13 which is grade 7 in Germany (N = 221). Using item response theory, we controlled for Rasch scalability. Our test showed a plausible values based expected a posteriori (EAP/PV) reliability of EAP/PV = 0.77. Next, we estimated a one-dimensional, a three-dimensional between, and a three-dimensional within model to describe FT and compared the models’ fit to our data using information criteria. The results of the model comparison indicate that psychometrically, FT should be seen as a one-dimensional construct.

## Keywords

Task design Representation form Mapping Covariation Function as object

# Funktionales Denken – ein dreidimensionales Konstrukt?

## Zusammenfassung

Funktionale Zusammenhänge sind grundlegend für den Mathematikunterricht in jeder Jahrgangsstufe; sie sind auch relevant für andere Unterrichtsfächer wie Politik, und sie sind Teil unseres Alltags. Schülerinnen und Schüler werden mit ihnen bewusst und unbewusst konfrontiert und entwickeln dabei bereits in den unteren Jahrgangstufen funktionales Denken (FD). Beschrieben wird FD in der Regel mittels der 3 Aspekte Zuordnung, Änderungsverhalten und Funktion als Objekt. Empirisch wurde bisher nicht untersucht, ob diese Aspekte als unterschiedliche Dimensionen des FD angesehen werden sollten oder ob FD psychometrisch als eindimensionales Konstrukt zu betrachten ist. Daher befasste sich diese Studie mit der Entwicklung und Validierung eines Tests zur Messung des FD in seinen Anfängen, der es ermöglichen sollte, Einblick in die psychometrische Struktur des FD zu erlangen. Zunächst wurde FD hinsichtlich der 3 benannten Aspekte operationalisiert, wobei angenommen wurde, dass sich FD im angemessenen Umgang mit und im Wechsel zwischen verschiedenen Repräsentationsformen funktionaler Zusammenhänge (Tabelle, Graph, situative Beschreibung) zeigt. Nach der Itementwicklung wurde die Passung von Items und Operationalisierung mittels Expertenrating überprüft (N = 2; κ = 0,86). Der darauf aufbauend konstruierte Test wurde von 221 Schülerinnen und Schülern aus Jahrgangsstufe 7 im Alter von 12 bis 13 bearbeitet. Unter Verwendung der Item-Response-Theorie wurde der Test auf seine Rasch-Skalierbarkeit hin überprüft, er erreichte eine auf „plausible values basierende expected a posteriori“ (EAP/PV) Reliabilität von EAP/PV = 0,77. Anschließend wurden ein eindimensionales Modell, ein dreidimensionales Between-Modell sowie ein dreidimensionales Within-Modell zur Beschreibung des FD bewertet. Die Passung der Modelle zu den Daten wurde mittels Informationskriterien überprüft. Die Ergebnisse des Modellvergleichs deuten darauf hin, dass FD psychometrisch als eindimensionales Konstrukt betrachtet werden sollte.

## Schlüsselwörter

Aufgabendesign Repräsentationsform Zuordnung Änderungsverhalten Funktion als Objekt

## Notes

### Acknowledgements

The authors would like to thank the reviewers for their valuable comments and suggestions. Due to their support, our article improved significantly.

### Funding

This research was funded by Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, Graduiertenkolleg 1561).

## Supplementary material

13138_2019_141_MOESM1_ESM.pdf (1.9 mb)
Online Resource 1—Test: Functional Thinking
13138_2019_141_MOESM2_ESM.pdf (1.8 mb)
Online Resource 2—Test: Funktionales Denken

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## Authors and Affiliations

• Michaela Lichti
• 1
• Jürgen Roth
• 1
1. 1.Mathematics Education, Institute for MathematicsUniversity of Koblenz LandauLandauGermany