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Didaktisch orientierte Beweiskonzepte – Eine Analyse zur mathematikdidaktischen Ideenentwicklung

Conceptions of proof and proving in mathematics education – an analysis of the development of ideas in the didactics of mathematics

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Zusammenfassung

In dem Beitrag werden verschiedene didaktische Ansätze zum Beweisen (intuitive Beweise, inhaltlich-anschauliche Beweise, operative Beweise, präformale Beweise, generische Beweise etc.) aufgearbeitet und ihre speziellen Charakteristika und Zielsetzungen herausgestellt. Weiter wird hinterfragt, inwieweit die verschiedenen Konzepte als „intellektuell ehrlich“ (Kirsch) vereinfachte Beweise gelten können. In diesem Kontext wird weiter erörtert, welche Rolle der Darstellung der Argumente und der Sprache zukommt.

Abstract

The paper discusses several conceptions of proof in mathematics education, such as intuitive proofs, visual proofs, operative proofs, preformal proofs and generic proofs. This is done from a critical historical perspective on the development of ideas in mathematics education. Among others, we apply Arnold Kirsch’s conception of an intellectually honest simplification of mathematics for learning in school. Finally, the paper touches the role of language and means of representation.

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Notes

  1. Branford (1913) ist die deutsche Übersetzung von Branford (1908).

  2. Heidenreich (1987) schreibt hierzu: „Kirsch […] hat diese Art von Beweisen im Anschluß an Semadeni prämathematisch genannt. Leider scheint sich diese Bezeichnungsweise in der deutschen Mathematikdidaktik auszubreiten […]. Ich plädiere dringend dafür, von präformalen Beweisen zu sprechen […], da prämathematisch allzu leicht als vor- und damit unmathematisch mißverstanden werden könnte“ (ebd., S. 138; Hervorhebung im Original).

  3. Eine genaue Darstellung dessen, was unter einer strikten Implikation zu verstehen ist, würde hier zu weit führen. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf Lewis und Langford (1959, S. 165). Semadeni selbst verweist auf die erste Auflage dieses Buches, welche 1932 erschienen ist.

  4. Freudenthal (1980) ist die englische Ausgabe von Freudenthal (1978).

  5. „Gegenüber dieser Eigenschaft der empirischen Raumanschauung, an eine beschränkte Genauigkeit geknüpft zu sein, beansprucht die abstrakte oder ideale Raumanschauung eine unbegrenzte Genauigkeit und geht darin nach dem Cantorschen Axiom mit den arithmetischen Definitionen des Zahlbegriffes genau parallel (ebd., S. 39)“. Während die sinnliche Anschauung physikalische Genauigkeitsgrenzen hat, ist für die Mathematik die reine Anschauung mit „unbegrenzter Genauigkeit“ relevant.

  6. Vgl. Abschnitt 3.8.

  7. Die Autoren meinen die Quelle, die wir als Semadeni (1976) angegeben haben. Das Erscheinungsjahr ist nicht sicher zu rekonstruieren. Mehrere Indizien sprechen aber für 1976.

  8. In Blum (1998) werden solche Beweise als „reality-related proofs“ bezeichnet.

  9. Die sich innerhalb des Zitats befindliche Abbildung ist ähnlich zu der sich Text findenden Abbildung bei Wittmann und Ziegenbalg 2007, S. 37.

  10. „As Sémadéni suggests (thinking of an extension of action proofs), the movement to conceptual proofs lies essentially in taking account of the generic quality of those situations previously envisaged“ (Balacheff 1988, S. 217).

  11. „A person’s proof scheme consists of what constitutes ascertaining and persuading for that person“ (Harel und Sowder 1998, S. 244).

  12. Diese Begriffsbildung geschieht in Anlehnung an Tall (1979), der einen Beweis als generisch bezeichnet, der für einen konkreten Fall gezeigt wird, aber in sich das Beweiskonzept für eine ganze Klassen von Beweisen vereint (dort: Das Quadrat einer rationalen Zahl kann nicht gleich 5/8 sein).

Literatur

  • Aberdein, A. (2013). The parallel structure of mathematical reasoning. In A. Aberdein, & I. J. Dove (Hrsg.), The argument of mathematics (S. 361–380). Dordrecht: Springer.

    Chapter  Google Scholar 

  • Alsina, C., & Nelsen, R. B. (2010). An invitation to proofs without words. European Journal of Pure and Applied Mathematics, 3(1), 118–127.

    Google Scholar 

  • Alsina, C., & Nelsen, R. B. (2013). Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Berlin: Springer Spektrum.

    Google Scholar 

  • Balacheff, N. (1988). Aspects of proof in pupils’ practice of school mathematics. In D. Pimm (Hrsg.), Mathematics, teachers and children (S. 216–235). London: Hodder and Stoughton.

    Google Scholar 

  • Bender, P. (1989). Anschauliches Beweisen im Geometrie-Unterricht – unter besonderer Berücksichtigung von (stetigen) Bewegungen und Verformungen. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 95–145). Wien Stuttgart: Hölder-Pichler-Tempsky Teubner.

    Google Scholar 

  • Bender, P., & Jahnke, H. N. (1992). Intuition and rigor in mathematics instruction. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 24(7), 259–264 & 303–311.

    Google Scholar 

  • Biehler, R., & Kempen, L. (2013). Students’ use of variables and examples in their transition from generic proof to formal proof. In B. Ubuz, C. Haser, & M. A. Mariotti (Hrsg.), Proceedings of the 8th congress of the European society for research in mathematics education (S. 86–95). Ankara: Middle East Technical University.

    Google Scholar 

  • Biehler, R., & Kempen, L. (2014). Entdecken und Beweisen als Teil der Einführung in die Kultur der Mathematik für Lehramtsstudierende. In J. Roth, T. Bauer, H. Koch, & S. Prediger (Hrsg.), Übergänge konstruktiv gestalten. Ansätze für eine zielgruppenspezifische Hochschuldidaktik Mathematik (S. 121–136). Wiesbaden: Springer Spektrum.

    Google Scholar 

  • Bills, L., & Rowland, T. (1999). Examples, generalisation and proof. Advances in mathematics. Education, 1(1), 103–116.

    Google Scholar 

  • Blum, W. (1998). On the role of „Grundvorstellungen“ for reality-related proofs – examples and reflections. Proceedings of CERME 3. http://www.erme.tu-dortmund.de/~erme/CERME3/Groups/TG4/TG4_Blum_cerme3.pdf. Zugegriffen: 28. März 2016.

    Google Scholar 

  • Blum, W., & Kirsch, A. (1989). Warum haben nichttriviale Lösungen von f’= f keine Nullstellen? Beobachtungen und Bemerkungen zum inhaltlich-anschaulichen Beweisen. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 199–209). Wien Stuttgart: Hölder-Pichler-Tempsky Teubner.

    Google Scholar 

  • Blum, W., & Kirsch, A. (1991). Preformal proving: examples and reflections. Educational Studies in Mathematics, 22(2), 183–203.

    Article  Google Scholar 

  • Blum, W., & Leiß, D. (2006). Beschreibung zentraler mathematischer Kompetenzen. In W. Blum, C. Drüke-Noe, R. Hartung, & O. Köller (Hrsg.), Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (S. 33–50). Berlin: Cornelsen Skriptor.

    Google Scholar 

  • Boero, P. (1999). Argumentation and mathematical proof: A complex, productive, unavoidable relationship in mathematics and mathematics education. International Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical Proof, Juillet/Août 1999.

    Google Scholar 

  • Branford, B. (1908). A study of mathematical education including the teaching of arithmetic. Oxford: Clarendon Press. https://archive.org/stream/astudymathemati00brangoog#page/n10/mode/2up. Zugegriffen: 28. April 2016.

    Google Scholar 

  • Branford, B. (1913). Betrachtungen über mathematische Erziehung vom Kindergarten bis zur Universität. Leipzig/Berlin: Teubner. Deutsch von R. Schimmack und H. Weinreich.

    Google Scholar 

  • Bruner, J. S. (1973). Der Prozeß der Erziehung. Berlin: Berlin Verlag.

    Google Scholar 

  • Brunner, E. (2013). Innermathematisches Beweisen und Argumentieren in der Sekundarstufe 1. Mögliche Erklärungen für systematische Bearbeitungsunterschiede und leistungsförderliche Aspekte. Münster: Waxmann.

    Google Scholar 

  • Cadwalladerolsker, T. (2011). What do we mean by mathematical proof? Journal of Humanistic Mathematics, 1(1), 33–60.

    Article  Google Scholar 

  • Chazan, D. (1993). High school geometry students’ justification for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 24(4), 359–387.

    Article  Google Scholar 

  • Chemla, K. (Hrsg.). (2012). The history of mathematical proof in ancient traditions. Cambridge: Cambridge University Press.

    Google Scholar 

  • Dörfler, W. (2006). Diagramme und Mathematikunterricht. Journal für Mathematik-Didaktik, 27(3–4), 200–219.

    Article  Google Scholar 

  • Dörfler, W. (2010). Mathematische Objekte als Indizes in Diagrammen. Funktionen in der Analysis. In G. Kadunz (Hrsg.), Sprache und Zeichen. Zur Verwendung von Linguistik und Semiotik im der Mathematikdidaktik (S. 25–48). Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Dreyfus, T., Nardi, E., & Leikin, R. (2012). Forms of proof and proving in the classrom. In G. Hanna, & M. de Villiers (Hrsg.), Proof and proving in mathematics education: the 19th ICMI study (S. 191–214). Heidelberg: Springer.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1953). Zur Geschichte der vollständigen Induktion. Archives internationales d’histoire des sciences, 22, 17–37.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1963). Was ist Axiomatik und welchen Bildungswert soll sie haben? Der Mathematikunterricht, 9(4), 5–29.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1978). Vorrede zu einer Wissenschaft vom Mathematikunterricht. München: Oldenbourg.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1979). Konstruieren, Reflektieren, Beweisen in phänomenologischer Sicht. In W. Dörfler, & R. Fischer (Hrsg.), Beweisen im Mathematikunterricht. Vorträge des 2. internationalen Symposiums für Didaktik der Mathematik in Klagenfurt (S. 183–200). Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1980). Weeding and sowing: preface to a science of mathematical education. Dordrecht: Reidel.

    Google Scholar 

  • Gardner, M. (1973). Mathematical games. Scientific American, 229, 114–118.

    Article  Google Scholar 

  • Hanna, G. (1989). Proofs that prove and proofs that explain. In G. Vergnaud, J. Rogalski, & M. Artigue (Hrsg.), Proceedings of the 13th international conference on the psychology of mathematics education (Bd. 2, S. 45–51). Paris: PME.

    Google Scholar 

  • Hanna, G., & Jahnke, H. N. (1996). Proof and proving. In A. J. Bishop (Hrsg.), International handbook of mathematics education (S. 877–908). New York: Kluwer Academic Publishers.

    Google Scholar 

  • Hanna, G., & Villiers, M. de (Hrsg.). (2012). Proof and proving in mathematics education – the 19th ICMI study. Dordrecht: Springer.

    Google Scholar 

  • Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: results from exploratory studies. In A. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Hrsg.), Research in collegiate mathematics education III (S. 234–283). Providence: American Mathematical Society.

    Chapter  Google Scholar 

  • Heidenreich, K. (1987). Der Rotwein-Beweis. Praxis der Mathematik, 29, 136–138.

    Google Scholar 

  • Hersh, R. (1997). What is mathematics, really? London: Jonathan Cape.

    Google Scholar 

  • Hoffmann, M. (2005). Erkenntnisentwicklung. Frankfurt am Main: Klostermann.

    Google Scholar 

  • Jahnke, H. N. (1984). Anschauung und Begründung in der Schulmathematik. Beiträge zum Mathematikunterricht 1984 (S. 32–41). Bad Salzdethfurt: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Jahnke, H. N. (1989). Abstrakte Anschauung. Geschichte und didaktische Bedeutung. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 33–53). Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.

    Google Scholar 

  • Kautschitsch, H. (1989). Wie kann ein Bild das Allgemeingültige vermitteln. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 177–186). Wien Stuttgart: Hölder-Pichler-Tempsky Teubner.

    Google Scholar 

  • Kautschitsch, H. (2015). Zur Rolle von Zeichnungen beim Beweisen im Mathematikunterricht. In G. Kadunz (Hrsg.), Semiotische Perspektiven auf das Lernen von Mathematik (S. 143–161). Berlin Heidelberg: Springer.

    Google Scholar 

  • Karunakaran, S., Freeburn, B., Konuk, N., & Arbaugh, F. (2014). Improving preservice secondary mathematics teachers’ capability with generic example proofs. Mathematics Teacher Educator, 2(2), 158–170.

    Article  Google Scholar 

  • Kempen, L., & Biehler, R. (2016). Pre-service teachers’ perceptions of generic proofs in elementary number theory. In K. Krainer, & N. Vondrová (Hrsg.), Proceedings of the 9th congress of the European society for research in mathematics education (S. 135–141). Prag: CERME.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1976). Eine „intellektuell ehrliche“ Einführung des Integralbegriffs in Grundkursen. Didaktik der Mathematik, 4(2), 87–105.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1977). Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht. Didaktik der Mathematik, 5(2), 87–101.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1979). Beispiele für prämathematische Beweise. In W. Dörfler, & R. Fischer (Hrsg.), Beweisen im Mathematikunterricht. Vorträge des 2. internationalen Symposiums für Didaktik der Mathematik in Klagenfurt (S. 261–274). Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1996). Der Hauptsatz – anschaulich? mathematik lehren, Heft 78, 55–59.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (2014). The fundamental theorem of calculus: visually? ZDM Mathematics Education, 46(4), 691–695.

    Article  Google Scholar 

  • Klein, F. (1933). Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus I: Arithmetik-Algebra-Analysis. Berlin: Julius Springer.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., & Rehrmann, F. (1989). Anschauliche Beweise einiger Eigenschaften der Parabel mit Anwendungen in der Numerik. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 187–198). Wien Stuttgart: Hölder-Pichler-Tempsky Teubner.

    Google Scholar 

  • Knipping, C. (2005). Challenges in teaching proof. In H.-W. Henn, & G. Kaiser (Hrsg.), Mathematikunterricht im Spannungsfeld von Evolution und Evaluation. Festschrift für Werner Blum (S. 165–174). Hildesheim/Berlin: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • KMK (2012) Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012). http://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf.

  • Krumsdorf, J. (2009). Beweisen am Beispiel: Beispielgebundenes Beweisen zwischen induktivem Prüfen und formalen Beweisen. Praxis der Mathematik in der Schule, 51(30), 8–13.

    Google Scholar 

  • Leron, U., & Zaslavsky, O. (2009). Generic proving: reflections on scope and method. In F.-L. Lin, F.-J. Hsieh, & G. V. M. Hanna (Hrsg.), Proceedings of the ICMI study 19 conference: proof and proving in mathematics education (Bd. 2, S. 53–58). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics: National Taiwan Normal University.

    Google Scholar 

  • Leuders, T. (2010). Erlebnis Arithmetik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

    Book  Google Scholar 

  • Lewis, C. I., & Langford, C. H. (1959). Symbolic logic. New York: Dover.

    Google Scholar 

  • Lin, F.-L., Hsieh, F.-J., Hanna, G., & Villiers, M. de (Hrsg.). (2009). Proceedings of the ICMI study 19 conference: proof and proving in mathematics education. Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University.

    Google Scholar 

  • Mason, J., & Pimm, D. (1984). Generic examples: seeing the general in the particular. Educational Studies in Mathematics, 15(3), 277–289.

    Article  Google Scholar 

  • Maurolyci, F. (1575). Arithmeticorum Libri Duo. Venedig.

  • Morley, A. (1967). Changes in primary school mathematics – are they complete? Mathematics teaching, 41, 20–24.

    Google Scholar 

  • Mormann, T. (1981). Argumentieren, Begründen, Verallgemeinern. Königstein: Scriptor.

    Google Scholar 

  • Müller, G., & Wittmann, E. C. (1977). Der Mathematikunterricht in der Primarstufe. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: exercises in visual thinking. Washington, DC: The Mathematical Association of America.

    Google Scholar 

  • Nelsen, R. B. (2000). Proofs without words 2: more exercises in visual thinking. Washington, DC: The Mathematical Association of America.

    Google Scholar 

  • Peirce, C. S. (1902). The Carnegie Application. Abgedruckt in C. Eisele (1976). The New Elements of Mathematics by Charles S. Peirce (Bd. 4, S. 13–73). Den Haag: De Gruyter.

  • Pòlya, G. (1969). Mathematik und plausibles Schließen. Induktion und Analogie in der Mathematik, Bd. 1. Basel: Springer.

    Book  Google Scholar 

  • Reid, D. A. (2005). The meaning of proof in mathematics education. Proceedings of CERME 4. http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~erme/CERME4/CERME4_WG4.pdf. Zugegriffen: 28. April 2016.

    Google Scholar 

  • Reid, D. A., & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education. Research, learning and teaching. Rotterdam: Sense Publisher.

    Google Scholar 

  • Rowland, T. (2002). Generic proofs in number theory. In S. R. Campbell, & R. Zazkis (Hrsg.), Learning and teaching number theory (S. 157–183). Westport: Ablex.

    Google Scholar 

  • Semadeni, Z. (1976). The concept of premathematics as a theoretical background for primary mathematics teaching. Warschau: Polnische Akademie der mathematischen Wissenschaften.

    Google Scholar 

  • Semadeni, Z. (1981a). Action proofs in primary mathematics teaching and in teachers training. Warschau: Polnische Akademie der mathematischen Wissenschaften.

    Google Scholar 

  • Semadeni, Z. (1981b). A principle of schema permanence in defining arithmetical concepts. Warschau: Polnische Akademie der mathematischen Wissenschaften.

    Google Scholar 

  • Semadeni, Z. (1984). Action proofs in primary mathematics teaching and in teacher teaching. For the Learning of Mathematics, 4(1), 32–34.

    Google Scholar 

  • Stein, M. (1985). Didaktische Beweiskonzepte. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 17(4), 120–133.

    Google Scholar 

  • Stein, M. (1986). Beweisen. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Stjernfelt, F. (2000). Diagrams as centerpiece of a Peircean epistemology. Transactions of the Charles S. Peirce Society, 36(3), 357–384.

    Google Scholar 

  • Strunz, L. (1968). Der neue Mathematikunterricht in pädagogisch-psychologischer Sicht. Heidelberg: Quelle & Meyer.

    Google Scholar 

  • Stylianides, A. J. (2010). Engaging secondary students in reasoning and proving. Mathematics Teaching, 219, 39–44.

    Google Scholar 

  • Tabach, M., Barkai, R., Tsamir, P., Tirosh, D., Dreyfus, T., & Levenson, E. (2010a). Verbal justification – is it a proof? Secondary school teachers’ perceptions. International Journal of Science and Mathematics Education, 8(6), 1071–1090.

    Article  Google Scholar 

  • Tabach, M., Levenson, E., Barkai, R., Tirosh, D., Tsamir, P., & Dreyfus, T. (2010b). Secondary school teachers’ awareness of numerical examples as proof. Research in Mathematics Education, 12(2), 117–131.

    Article  Google Scholar 

  • Tall, D. (1979). Cognitive aspects of proof, with special reference to the irrationality of \(\sqrt{2}\). In D. Tall (Hrsg.), Proceedings of the 3rd international conference on the psychology of mathematics education (S. 203–205). Warwick: The Mathematics Education Research Center.

    Google Scholar 

  • Tietze, U.-P., Klika, M., & Wolpers, H. (1997). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Braunschweig Wiesbaden: Vieweg Teubner Verlag.

    Book  Google Scholar 

  • Ufer, S., & Kramer, J. (2015). Die Kompetenz mathematisch Argumentieren. In W. Blum, S. Vogel, C. Drüke-Noe, & A. Roppelt (Hrsg.), Bildungsstandards aktuell: Mathematik für die Sekundarstufe II (S. 83–94). Braunschweig: Diesterweg.

    Google Scholar 

  • Vergnaud, G. (2009). The theory of conceptual fields. Human Development, 52(2), 83–94.

    Article  Google Scholar 

  • Villiers, M. de (1999). The role and function of proof. In M. de Villiers (Hrsg.), Rethinking proof with the geometer’s sketchpad (S. 3–10). Emeryville: Key Curriculum Press.

    Google Scholar 

  • Volkert, K. (1989). Die Bedeutung der Anschauung für die Mathematik – Historisch und systematisch betrachtet. In H. Kautschitsch, & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 9–31). Wien Stuttgart: Hölder-Pichler-Tempsky Teubner.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J. (1993). Paradoxien des Verstehens von Mathematik. Journal für Mathematik-Didaktik, 14(1), 35–58.

    Article  Google Scholar 

  • Walther, G. (1984). Action proof vs. illuminating examples? For the Learning of Mathematics, 4(3), 10–13.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1983). Prämathematische Beweise der Teilbarkeitsregeln. mathematica didactica, 6, 177–187.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1991). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C. (1985). Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. mathematik lehren, Heft 11, 7–11.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C. (1989). The mathematical training for teachers from the point of view of education. Journal für Mathematik-Didaktik, 10, 291–308.

    Article  Google Scholar 

  • Wittmann, E. C. (2009). Operative proof in elementary mathematics. In F.-L. Lin, F.-J. Hsieh, G. Hanna, & M. de Villiers (Hrsg.), Proceedings of the ICMI study 19 conference: Proof and proving in mathematics education (Bd. 2, S. 251–256). Taipei: The Department of Mathematics National Taiwan Normal University.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. (2014). Operative Beweise in der Schul- und Elementarmathematik. mathematica didactica, 37, 213–232.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C., & Müller, G. (1988). Wann ist ein Beweis ein Beweis? In P. Bender (Hrsg.), Mathematikdidaktik: Theorie und Praxis (S. 237–257). Berlin: Cornelsen.

    Google Scholar 

  • Wittmann, E. C., & Ziegenbalg, J. (2007). Sich Zahl um Zahl hochangeln. In G. Müller, H. Steinbring, & E. C. Wittmann (Hrsg.), Arithmetik als Prozess (S. 35–53). Seelze: Kallmeyer.

    Google Scholar 

  • Zhen, B., Weber, K., & Mejia-Ramos, J. P. (2015). Mathematics majors’ perceptions of the admissibility of graphical inferences in proofs. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 1, 1–29.

    Article  Google Scholar 

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Danksagung

Wir möchten uns bei den Gutachterinnen und Gutachtern für die zahlreichen Anregungen zur Verbesserung dieses Artikels bedanken. Ferner bedanken wir uns bei Julian Krumsdorf, von dem wir Arbeiten von Semadeni (1976, 1981a, 1981b) erhalten haben. Sie wurden ihm noch von Arnold Kirsch persönlich zur Verfügung gestellt. Arnold Kirsch gilt unser herzlicher Dank deshalb posthum, auch für die zahlreichen Anregungen, die der erstgenannte Autor seinen persönlichen Gesprächen mit Arnold Kirsch in Kassel verdankt.

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Authors and Affiliations

  1. Institut für Mathematik, Universität Paderborn, 33098, Paderborn, Deutschland

    Rolf Biehler & Leander Kempen

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  2. Leander Kempen
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Biehler, R., Kempen, L. Didaktisch orientierte Beweiskonzepte – Eine Analyse zur mathematikdidaktischen Ideenentwicklung. J Math Didakt 37, 141–179 (2016). https://doi.org/10.1007/s13138-016-0097-1

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