Didaktisch orientierte Beweiskonzepte – Eine Analyse zur mathematikdidaktischen Ideenentwicklung

Conceptions of proof and proving in mathematics education – an analysis of the development of ideas in the didactics of mathematics

Zusammenfassung

In dem Beitrag werden verschiedene didaktische Ansätze zum Beweisen (intuitive Beweise, inhaltlich-anschauliche Beweise, operative Beweise, präformale Beweise, generische Beweise etc.) aufgearbeitet und ihre speziellen Charakteristika und Zielsetzungen herausgestellt. Weiter wird hinterfragt, inwieweit die verschiedenen Konzepte als „intellektuell ehrlich“ (Kirsch) vereinfachte Beweise gelten können. In diesem Kontext wird weiter erörtert, welche Rolle der Darstellung der Argumente und der Sprache zukommt.

Abstract

The paper discusses several conceptions of proof in mathematics education, such as intuitive proofs, visual proofs, operative proofs, preformal proofs and generic proofs. This is done from a critical historical perspective on the development of ideas in mathematics education. Among others, we apply Arnold Kirsch’s conception of an intellectually honest simplification of mathematics for learning in school. Finally, the paper touches the role of language and means of representation.

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Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 4
Abb. 5
Abb. 6
Abb. 7
Abb. 8
Abb. 9

Notes

  1. 1.

    Branford (1913) ist die deutsche Übersetzung von Branford (1908).

  2. 2.

    Heidenreich (1987) schreibt hierzu: „Kirsch […] hat diese Art von Beweisen im Anschluß an Semadeni prämathematisch genannt. Leider scheint sich diese Bezeichnungsweise in der deutschen Mathematikdidaktik auszubreiten […]. Ich plädiere dringend dafür, von präformalen Beweisen zu sprechen […], da prämathematisch allzu leicht als vor- und damit unmathematisch mißverstanden werden könnte“ (ebd., S. 138; Hervorhebung im Original).

  3. 3.

    Eine genaue Darstellung dessen, was unter einer strikten Implikation zu verstehen ist, würde hier zu weit führen. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf Lewis und Langford (1959, S. 165). Semadeni selbst verweist auf die erste Auflage dieses Buches, welche 1932 erschienen ist.

  4. 4.

    Freudenthal (1980) ist die englische Ausgabe von Freudenthal (1978).

  5. 5.

    „Gegenüber dieser Eigenschaft der empirischen Raumanschauung, an eine beschränkte Genauigkeit geknüpft zu sein, beansprucht die abstrakte oder ideale Raumanschauung eine unbegrenzte Genauigkeit und geht darin nach dem Cantorschen Axiom mit den arithmetischen Definitionen des Zahlbegriffes genau parallel (ebd., S. 39)“. Während die sinnliche Anschauung physikalische Genauigkeitsgrenzen hat, ist für die Mathematik die reine Anschauung mit „unbegrenzter Genauigkeit“ relevant.

  6. 6.

    Vgl. Abschnitt 3.8.

  7. 7.

    Die Autoren meinen die Quelle, die wir als Semadeni (1976) angegeben haben. Das Erscheinungsjahr ist nicht sicher zu rekonstruieren. Mehrere Indizien sprechen aber für 1976.

  8. 8.

    In Blum (1998) werden solche Beweise als „reality-related proofs“ bezeichnet.

  9. 9.

    Die sich innerhalb des Zitats befindliche Abbildung ist ähnlich zu der sich Text findenden Abbildung bei Wittmann und Ziegenbalg 2007, S. 37.

  10. 10.

    „As Sémadéni suggests (thinking of an extension of action proofs), the movement to conceptual proofs lies essentially in taking account of the generic quality of those situations previously envisaged“ (Balacheff 1988, S. 217).

  11. 11.

    „A person’s proof scheme consists of what constitutes ascertaining and persuading for that person“ (Harel und Sowder 1998, S. 244).

  12. 12.

    Diese Begriffsbildung geschieht in Anlehnung an Tall (1979), der einen Beweis als generisch bezeichnet, der für einen konkreten Fall gezeigt wird, aber in sich das Beweiskonzept für eine ganze Klassen von Beweisen vereint (dort: Das Quadrat einer rationalen Zahl kann nicht gleich 5/8 sein).

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Danksagung

Wir möchten uns bei den Gutachterinnen und Gutachtern für die zahlreichen Anregungen zur Verbesserung dieses Artikels bedanken. Ferner bedanken wir uns bei Julian Krumsdorf, von dem wir Arbeiten von Semadeni (1976, 1981a, 1981b) erhalten haben. Sie wurden ihm noch von Arnold Kirsch persönlich zur Verfügung gestellt. Arnold Kirsch gilt unser herzlicher Dank deshalb posthum, auch für die zahlreichen Anregungen, die der erstgenannte Autor seinen persönlichen Gesprächen mit Arnold Kirsch in Kassel verdankt.

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Biehler, R., Kempen, L. Didaktisch orientierte Beweiskonzepte – Eine Analyse zur mathematikdidaktischen Ideenentwicklung. J Math Didakt 37, 141–179 (2016). https://doi.org/10.1007/s13138-016-0097-1

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Schlüsselwörter

  • Beweisen
  • Didaktisch orientierte Beweiskonzepte
  • Operative, präformale und generische Beweise
  • Funktionen von Beweisen
  • Ideengeschichte der Mathematikdidaktik

Keywords

  • Proof
  • Educational proof conceptions
  • Operative, preformal and generic proofs
  • Functions of proofs
  • History of mathematics education

MESC Codes

  • C30
  • D20
  • E50