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Prämienkalkulation und die „Sanierung“ von Versicherungsverträgen

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Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft

Zusammenfassung

Bei der Bestimmung der „risikogerechten“ Versicherungsprämien besteht regelmäßig das Problem, dass die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Schadenhäufigkeit und Schadenhöhe nicht sicher bekannt sind. Rein zufallsbedingte Abweichungen der Schadenbelastung in einer Periode vom Erwartungswert rechtfertigen keine Prämienerhöhung. Um Versicherungsnehmer mit einem temporär ungünstigen Schadenverlauf vor unangemessenen Erhöhungen der Versicherungsprämien zu schützen, ist es notwendig, zufallsbedingte und sonstige Abweichungen der erwarteten von den eingetretenen Schadenfällen zu trennen.

Für die Anpassung von Verträgen speziell von Schadens-/Unfallversicherungen bei Vorliegen neuer Informationen gibt es prinzipiell drei Strategien. Zum einen kann die bisherige Versicherungsprämie ignoriert werden und unter Berücksichtigung des größeren Datensamples eine Neukalkulation stattfinden. Eine Alternative dazu ist ein bayesianischer Lernprozess, bei dem ausgehend von der ursprünglich vereinbarten Versicherungsprämie und der Berücksichtigung der neuen Informationen eine Adjustierung der bisherigen Versicherungsprämie vorgenommen wird. Die dritte Methode orientiert sich an einem statistischen Hypothesentest. Hierbei wird eine Versicherungsprämie nur angepasst, wenn aufgrund der neuen Informationen die Annahmen über die Schadenverteilung statistisch verworfen werden können. Angesichts der Vertragssicherheit und der sicheren Kalkulationsgrundlagen spricht viel für den statistischen Hypothesentest. Die stringente Anwendung dieser Methode kann eine fundierte Grundlage für Verhandlungen zwischen Versicherungsnehmer und Versicherungsgeber darstellen. Die Verbesserung der Transparenz bezüglich eingegangener Risiken ist auch aufsichtsrechtlich wünschenswert und für die Beurteilung der Solvatibilität hilfreich.

Abstract

For assessing the risk adjusted insurance premiums, we always face the challenge that we don’t know the respective distribution functions of the probable claims and the probability of occurrence. Purely chance-based deviations from expected damages are no sufficient reason for premium increases. This means that for preparing for such deviations we have to distinct between chance-based and other deviations from expected and realised damage events. For adjusting insurance contracts due to new information, there are three possible strategies: first, we could ignore the past premium and calculate them based on the new data sample. Alternatively we could make use of a Bayesian learning process, which means to adjust the past premiums by taking into account the new information. The third strategy refers to a statistical test of hypotheses. This means to only adjust a premium if the original assumptions on the possible distribution of claims have to be rejected statistically. Looking at the certainty of the contracts and a steady calculation basis, there are many reasons in favour of the statistical test of hypotheses. The stringent usage of this method can lead to a sound basis for negotiations between insurance provider and holder. The improvement of transparency of taken risks is regulatorily desirable as well as helpful for evaluation of solvency.

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Abb. 1
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Abb. 5
Abb. 6

Notes

  1. Siehe Farny (2006), Nguyen (2008), S. 250–256.

  2. Genau genommen zuzüglich des „Änderungsrisikos“, vgl. hierzu Abschn. 2.1.

  3. Z. B. Poissonverteilung mit dem Parameter λ.

  4. Z. B. eine (erweiterte) Log-Normalverteilung mit Lokalisationsparameter a, Lagemaß μ und Streuungsmaß σ.

  5. Zur Berechnung der Prämien und abgekehrt von Schadenerwartungswert und gegebenenfalls unter zusätzlicher Berücksichtigung der bei einer nicht perfekten Diversifikation („Ausgleich im Kollektiv“) zusätzlich zu berücksichtigende „Unexpected Loss“, siehe z. B. Nguyen (2008).

  6. Zu beachten ist hier, dass der Erwartungswert der Schäden bei einer Log-Normalverteilung abhängig ist von den Parametern μ und σ und gemäß folgender Formel berechnet wird: \(E(s)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\).

  7. Das Zufallsrisiko kann weiter unterteilt werden in Kumulrisiko, Ansteckungsrisiko und Katastrophenrisiko.

  8. Ein Grundmodell zur Beschreibung einer Versicherungslösung erläutert Nguyen (2007), S. 16–33.

  9. Vgl. Arrow (1971) sowie Doherty und Richter (2002).

  10. Die Nichtbeobachtbarkeit von Schadenverhütungsmaßnahmen führt zu einer Fehlallokation von knappen Ressourcen, da Versicherungen als Instrument der Risikobewältigung in zu großem Umfang und Schadenverhütungsaktivitäten in zu geringem Umfang eingesetzt werden. Das Bereicherungsverbot stellt sicher, dass der Versicherte im Schadenfall nicht besser gestellt werden kann als im Nicht-Schadenfall.

  11. Siehe Akerlof und Yellen (1987), Rothschild und Stiglitz (1976) sowie Wilson (1977).

  12. Wenn das zeitliche Eintreffen seltener Ereignisse einen Poissonprozess bildet, folgen die Zeitintervalle zwischen den Ereignissen einer Exponentialverteilung.

  13. Für große n und kleine p und wenn nxp gegen eine Konstante strebt, kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung (mit λ=nxp) angenähert werden. Als Faustregel gilt, dass die Näherung bei n>50, p<0,1 und nxp<5 hinreichend gut ist. Für große λ wiederum kann die Poissonverteilung durch eine Normalverteilung mit Erwartungswert λ und Standardabweichung \(\sqrt{\lambda}\) approximiert werden.

  14. Vgl. Rieder (2005), S. 22. Eine weitere Verteilung, die man oft im Versicherungswesen benutzt, ist die Poisson-Inverse Gauß-Verteilung, die sich als Poissonmischung mit der inversen Gaußverteilung als Strukturfunktion ergibt.

  15. Dabei gelte für die Parameter μ und σ, dass beide aus den reellen Zahlen und σ zusätzlich größer als 0 sei. Für x≤0 beträgt die Dichte stets 0.

  16. Neben der zweiparametrigen Lognormalverteilung Λ(μ;σ 2) existiert noch eine dreiparametrige Variante Λ(λ;μ;σ 2). Zusätzlich zum Skalenparameter μ und zum Formparameter σ tritt der Lageparameter λ hinzu, und man spricht von einer dreiparametrig lognormalverteilten Zufallsvariablen X, wenn die Zufallsvariable Y=ln(Xλ) normalverteilt ist gemäß N(μ;σ 2). Die zweiparametrige Version ist ein Spezialfall der dreiparametrigen (mit λ=0).

  17. Der Median einer Lognormalverteilung liegt bei e μ.

  18. Sind nun die Parameter der Lognormalverteilung von X bekannt, ermitteln sich die Parameter der normalverteilten Zufallsvariablen lnX wie folgt:

    $$\begin{aligned} &\sigma^2=\ln\biggl(\frac{\mathit{VAR}(X)}{(E(X))^2}+1\biggr)\\ &\mu=\ln \bigl(E(X)\bigr)-\ln \biggl(\biggl(\frac{\mathit{VAR}(X)}{(E(X))^2}+1\biggr)^{\frac{1}{2}}\biggr)=\ln \frac{E(X)}{(\frac{\mathit{VAR}(X)}{(E(X))^2}+1)^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}$$
  19. Beispielsweise kann man im Winter bei Glatteis oft beobachten, dass bei einer relativ hohen Anzahl von Kfz-Unfällen gleichzeitig relativ niedrige Schäden auftreten. Dies könnte dazu führen, dass eine hohe Anzahl N von Schäden eine niedrige Höhe X von Schäden nach sich zieht (was die zweite Annahme verletzt).

  20. Vgl. Mack (1997), S. 107.

  21. Vgl. Pfeifer (2003), S. 60 f.

  22. Vgl. Mack (1997), S. 108.

  23. In Anlehnung an Gleißner (2011b).

  24. Siehe auch Monatsbericht der Deutschen Bundesbank, Dezember 2007 sowie ergänzend Kerr (2006).

  25. Vgl. beispielsweise die spieltheoretischen Überlegungen bei Bieta et al. (2006).

  26. Vgl. Sinn (1980).

  27. Das dem sogenannten „kritischen Rationalismus“ zugrundeliegende Prinzip der Falsifikation, also der kritischen Prüfung von Hypothesen, wurde von Karl R. Popper entwickelt und ist heute das dominierende Prinzip der Wissenschaftstheorie.

  28. Und damit ceteris paribus auch die Versicherungsprämie konstant gehalten.

  29. Der Median der Log-Normalverteilung als „typischer Schaden“ liegt damit bei nur ca. 2 Tsd. Euro.

  30. Ausgedrückt durch das 99 %-Quantil der Log-Normalverteilung (genauer: 134 Tsd. Euro).

  31. Vgl. Fn (19); für den Erwartungswert der Log-Normalverteilung folgt damit E(X)=10 Tsd. Euro, für die Standardabweichung σ(X)=50 Tsd. Euro.

  32. Unter Vernachlässigung von Diversifikationseffekten mit anderen Risiken.

  33. Der Eigenkapitalkostensatz wurde hergeleitet über den Einbezug eines für die Firma angestrebten Zielratings von BB, was einer Insolvenzwahrscheinlichkeit von 99 % entspricht. Zur Herleitung risikoadjustierter Kapitalkosten siehe Gleißner (2011).

  34. Siehe Gleißner (2011a), Gleißner und Wolfrum (2008) sowie Gleißner (2007).

  35. Mit einem statistischen Test kann zudem untersucht werden, ob mit den Schadendaten des letzten Geschäftsjahres die Hypothese über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe insgesamt verworfen werden kann. Siehe zu den hier nutzbaren Anpassungstests, wie im einfachsten Fall den Chi-Quadrat-Test, Bamberg und Bauer (2008), S. 191–192 sowie Beck-Bornholdt und Dubben (2007).

  36. Vgl. Dreher, M. (2012) sowie Ulm, E. R. (2012).

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Gleißner, W., Nguyen, T. Prämienkalkulation und die „Sanierung“ von Versicherungsverträgen. ZVersWiss 102, 367–387 (2013). https://doi.org/10.1007/s12297-013-0248-0

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