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Jacobi and Kummer’s ideal numbers

Abstract

In this article we give a modern interpretation of Kummer’s ideal numbers and show how they developed from Jacobi’s work on cyclotomy, in particular the methods for studying “Jacobi sums” which he presented in his lectures on number theory and cyclotomy in the winter semester 1836/37.

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References

  1. 1.

    Bachmann, P.: Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig (1872)

  2. 2.

    Berndt, B.C., Evans, R.J., Williams, K.S.: Gauss and Jacobi Sums. Wiley, New York (1998)

    MATH  Google Scholar 

  3. 3.

    Bölling, R.: Kummer vor der Erfindung der “idealen complexen Zahlen”: Das Jahr 1844. Acta Hist. Leopold. 27, 145–157 (1997)

    Google Scholar 

  4. 4.

    Bölling, R.: From reciprocity laws to ideal numbers: an (un)known 1844 manuscript by E.E. Kummer. In: Goldstein, C., Schappacher, N., Schwermer, J. (eds.) The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae. Springer, Berlin (2007). Chap. IV.I

    Google Scholar 

  5. 5.

    Cauchy, A.L.: Mémoire sur la theorie des nombres. Mem. Acad. Sci. 17 (1840). Œuvres de Cauchy, Sér. I, III, 5–450

  6. 6.

    Dedekind, R.: Besprechung von P. Bachmann, “Die Lehre von der Kreistheilung”. Z. Math. Phys. 18, 14–24 (1873). Werke 3, 408–419

    Google Scholar 

  7. 7.

    Dickson, L.E.: Reply to a recent critique of an old review in science. Science 39(992), 22–24 (1914). Werke I, 21–46

    Article  Google Scholar 

  8. 8.

    Dirichlet, P.G.L.: Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. J. Reine Angew. Math. 3, 354–375 (1828)

    MATH  Google Scholar 

  9. 9.

    Dirichlet, P.G.L.: Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des 14ièmes puissances. J. Reine Angew. Math. 9, 390–393 (1832). Werke I, 189–194

    MATH  Google Scholar 

  10. 10.

    Dirichlet, P.G.L.: Démonstration d’une propriété analogue à la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques. J. Reine Angew. Math. 9, 379–389 (1832). Werke I, 173–188

    MATH  Google Scholar 

  11. 11.

    Edwards, H.M.: The background of Kummer’s proof of Fermat’s last theorem for regular primes. Arch. History Exact Sci. 14(3), 219–236 (1975)

    MATH  Article  MathSciNet  Google Scholar 

  12. 12.

    Edwards, H.M.: Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. GTM, vol. 50. Springer, Berlin (1977); 2nd edn. 1996

    MATH  Google Scholar 

  13. 13.

    Edwards, H.M.: Postscript to: “The background of Kummer’s proof of Fermat’s last theorem for regular primes”. Arch. History Exact Sci. 17(4), 381–394 (1977)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  14. 14.

    Edwards, H.M.: The genesis of ideal theory. Arch. Hist. Exact Sci. 23(4), 321–378 (1980/81)

    MATH  Article  MathSciNet  Google Scholar 

  15. 15.

    Edwards, H.M.: Mathematical ideas, ideals, and ideology. Math. Intell. 14, 6–19 (1992)

    MATH  Article  Google Scholar 

  16. 16.

    Folkerts, M., Neumann, O.: Der Briefwechsel zwischen Kummer und Reuschle. Ein Beitrag zur Geschichte der algebraischen Zahlentheorie. Rauner-Verlag, Augsburg (2006)

    MATH  Google Scholar 

  17. 17.

    Gauss, C.F.: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig (1801)

  18. 18.

    Gauss, C.F.: Theorie residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda (1832). Werke II, 93–148

  19. 19.

    Haubrich, R.: Zur Entstehung der algebraischen Zahlentheorie Richard Dedekinds. Diss. Univ. Göttingen (1992)

  20. 20.

    Heine, E.: Der Eisensteinsche Satz über die Reihen-Entwickelung algebraischer Functionen. J. Reine Angew. Math. 45, 285–302 (1853)

    MATH  Google Scholar 

  21. 21.

    Hilbert, D.: Zahlentheorie. Vorlesungen Göttingen WS (1897/98)

  22. 22.

    Jacobi, C.G.J.: Über die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie. Berliner Akad. Ber. 1837, 127–136; J. Reine Angew. Math. 30 (1846), 166–182; Werke VI, 245–274

  23. 23.

    Jacobi, C.G.J.: Vorlesungen über Zahlentheorie (F. Lemmermeyer, H. Pieper, eds.). Algorismus Heft 62. E.-Rauner Verlag, Augsburg (2007)

  24. 24.

    Jung, H.W.E.: Einführung in die Theorie der quadratischen Zahlkörper. Leipzig (1936)

  25. 25.

    Kronecker, L.: Bemerkungen über das Werk des Herrn Reuschle. Berl. Monatsber. 1875, 236–238; reprinted in [17, 246–249]

  26. 26.

    Kummer, E.E.: De aequatione x 2λ+y 2λ=z 2λ per numeros integros resolvenda. J. Reine Angew. Math. 17, 203–209 (1837)

    MATH  Google Scholar 

  27. 27.

    Kummer, E.E.: Zur Theorie der complexen Zahlen. Monatsber. Berlin (1845), 87–96; J. Reine Angew. Math. 35 (1847), 319–326; Collected Papers 203–210

  28. 28.

    Kummer, E.E.: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren. J. Reine Angew. Math. 35, 327–367 (1847)

    MATH  Google Scholar 

  29. 29.

    Kummer, E.E.: Collected Papers. Springer, Berlin (1975)

    Google Scholar 

  30. 30.

    Lebesgue, V.A.: Démonstration de quelques formules d’un mémoire de M. Jacobi. J. Math. Pures Appl. 19, 289–300 (1854)

    MathSciNet  Google Scholar 

  31. 31.

    Lemmermeyer, F.: Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein. Springer, Berlin (2000)

    MATH  Google Scholar 

  32. 32.

    Lemmermeyer, F.: Zur Zahlentheorie der Griechen. Teil I. Euklids Fundamentalsatz der Arithmetik. Math. Sem.-ber. 55, 181–195 (2008); Teil II, ibid. 56 (2009)

    MATH  Article  MathSciNet  Google Scholar 

  33. 33.

    Neumann, O.: Über die Anstöße zu Kummers Schöpfung der “idealen complexen Zahlen”. In: Mathematical Perspectives, pp. 179–199. Academic Press, New York (1981)

    Google Scholar 

  34. 34.

    Reichardt, H. (ed.): Nachrufe auf Berliner Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Teubner-Archiv zur Mathematik, Leipzig (1988)

    MATH  Google Scholar 

  35. 35.

    Roquette, P.: History of valuation theory. Part I. In: Kuhlmann, F.V., Kuhlmann, S., Marshall, M. (eds.) Valuation Theory and its Applications, vol. 1, pp. 291–355. Fields Institute Communications (2002)

  36. 36.

    Rychlik, K.: Zur Theorie der Teilbarkeit. Vestnik 5, 32S (1923)

    Google Scholar 

  37. 37.

    Schönemann, Th.: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der höhern Congruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist. J. Reine Angew. Math. 31, 269–325 (1846)

    MATH  Google Scholar 

  38. 38.

    Shafarevich, I.R.: Basic Algebraic Geometry. Springer, Berlin (1977)

    MATH  Google Scholar 

  39. 39.

    Soublin, J.-P.: Préhistoire des idéaux. Proc. Semin. History Math. 5, 13–20 (1984)

    MathSciNet  Google Scholar 

  40. 40.

    Stevenhagen, P., Lenstra, H.W.: Chebotarëv and his density theorem. Math. Intell. 18(2), 26–37 (1996)

    MATH  Article  MathSciNet  Google Scholar 

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Correspondence to Franz Lemmermeyer.

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Dem Andenken an Herbert Pieper (1943–2008) gewidmet.

Eine Würdigung von E. Knobloch zu Piepers 65. Geburtstag findet sich auf http://www.uni-potsdam.de/u/romanistik/humboldt/hin/hin16/knobloch.htm .

Communicated by U. Kühn.

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Lemmermeyer, F. Jacobi and Kummer’s ideal numbers. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 79, 165–187 (2009). https://doi.org/10.1007/s12188-009-0020-5

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Keywords

  • Jacobi
  • Kummer
  • Dedekind
  • Ideal primes
  • Cyclotomic fields
  • Fermat’s last theorem
  • Valuations
  • Integral closure

Mathematics Subject Classification (2000)

  • 01A55
  • 11R18