Problèmes de plongement finis sur les corps non commutatifs

Resume

Nous étendons la notion de problème de plongement fini sur les corps commutatifs, une notion centrale de la théorie inverse de Galois, à la situation d’un corps quelconque H de dimension finie sur son centre h. Nous montrons tout d’abord que résoudre un problème de plongement fini sur H équivaut à trouver une solution à un certain problème de plongement fini sur h vérifiant une contrainte polynomiale. Nous montrons ensuite que tout problème de plongement fini scindé constant sur le corps de fractions rationnelles H(t) à indéterminée centrale t admet une solution, si h est un corps ample. Il s’agit d’un analogue non commutatif d’un résultat profond de Pop. Plus généralement, nous résolvons de tels problèmes de plongement sur le corps de fractions rationnelles H(t, σ), où σ est un automorphisme de H d’ordre fini. Nos résultats généralisent de précédents travaux sur le probléme inverse de Galois sur les corps quelconques.

Abstract

We extend the notion of finite embedding problems over fields, a central notion in inverse Galois theory, to the situation of centrally finite division rings. We first show that solving a finite embedding problem over such a division ring H is equivalent to finding a solution to some finite embedding problem over the center of H involving a polynomial constraint. We then show that every constant finite split embedding problem over the skew field of rational fractions H(t) with central indeterminate t has a solution, if the center of H is an ample field, thus providing with a non-commutative analogue of a deep result of Pop. More generally, we solve such finite embedding problems over skew fields of rational fractions H(t, σ), where σ denotes an arbitrary automorphism of H with finite order. Our results generalize previous works on the inverse Galois problem over skew fields.