The Ramanujan Journal

, Volume 42, Issue 1, pp 173–197 | Cite as

Répartition simultanée de S(n) et \(S(n+1)\) dans les progressions arithmétiques

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Abstract

If \(q\ge 2\) is an integer, we denote by \(S_q(n)\) the sum of the digits in base q of the positive integer n and by \(v_q(n)\) its q-adic valuation. The goal of this work is to study exponential sums of the form \(\displaystyle \sum \nolimits _{n\le x}\exp \big (2i\pi \big (\frac{l}{m} S_q(n)+\frac{k}{m'}S_q(n+1)+\theta n\big )\big )\) in order to prove some statistical properties of integers n for which \(S_q(n)\) and \(S_q(n+1)\) belong to given arithmetic progressions. This extends the results obtained by Gelfond in 1968 and those obtained by Mauduit–Sárközy in 1996.

Mots clés

Somme des chiffres Sommes exponentielles Théorème d’Erdös-Kac 

Résumé

Si \(q\ge 2\) est un nombre entier, on désigne par \(S_q(n)\) la somme des chiffres en base q du nombre entier naturel n et par \(v_q(n)\) sa valuation q-adique. L’objectif de cet article est d’étudier des sommes d’exponentielles de la forme \(\displaystyle \sum \nolimits _{n\le x}\exp \big (2i\pi \big (\frac{l}{m} S_q(n)+\frac{k}{m'}S_q(n+1)+\theta n\big )\big )\) afin d’en déduire certaines propriétés statistiques des nombres entiers n pour lesquels \(S_q(n)\) et \(S_q(n+1)\) appartiennent à des progressions arithmétiques données. Ceci permet d’étendre les résultats obtenus par Gelfond en 1968 et ceux obtenus par Mauduit-Sárközy en 1996.

Keywords

Sum of digits Exponential sums Erdős-Kac theorem 

Mathematics Subject Classification

11A63  11L03  Secondary 11N60 

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Copyright information

© Springer Science+Business Media New York 2015

Authors and Affiliations

  • Karam Aloui
    • 1
    • 2
  • Christian Mauduit
    • 3
  • Mohamed Mkaouar
    • 2
  1. 1.Université d’Aix-Marseille, Institut de Mathématiques de Marseille UMR 7373 CNRSMarseille cedex 9France
  2. 2.Faculté des Sciences de SfaxUniversité de SfaxSfaxTunisie
  3. 3.Université d’Aix-Marseille et Institut Universitaire de France, Institut de Mathématiques de Marseille UMR 7373 CNRSMarseille cedex 9France

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