Skip to main content
Log in

L’apprentissage instrumenté de propriétés en géométrie : propédeutique à l’acquisition d’une compétence de démonstration

  • Published:
Educational Studies in Mathematics Aims and scope Submit manuscript

Abstract

Our paper aims at showing how the instrumented learning of the properties in Euclidean geometry can be introduced in continuity with the mathematical competences developed at the elementary school. The principle founder of our research is based on the relation of subordination between the constraints of a property, posed using dynamic geometry software, and a necessary conclusion. Starting from an experimentation carried out in classes of 12-14 years old in France and in Quebec, our study presents a critical analysis of results where the ultimate objective of the activities suggested to the students relates as well to the significance of elementary properties, as on the understanding of the necessity of the link between the antecedents to the consequents of a deduction. Before ending by the didactic consequences of our approach, the text introduces the concept of instrumented figural inference as a means, employed by certain students, to justify a step of structured reasoning. A reconciling of the semiotic, instrumental and discursive aspects is offered throughout the paper.

Résumé

Notre article vise à montrer comment l’apprentissage instrumenté des propriétés en géométrie euclidienne peut s’introduire en continuité avec les compétences mathématiques développées à l’école primaire. Le principe fondateur de notre dispositif de recherche repose sur la relation de subordination entre les contraintes d’une propriété, posée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, et une conclusion nécessaire. À partir d’une expérimentation effectuée dans des classes de 12-14 ans en France et au Québec, notre étude présente une analyse critique de résultats où l’objectif ultime des activités proposées aux élèves porte aussi bien sur la signification de propriétés élémentaires, que sur la compréhension de la nécessité du lien qui unit les antécédents aux conséquents d’une déduction. Avant de terminer par les conséquences didactiques de notre approche, le texte introduit la notion d’inférence figurale instrumentée, en tant que moyen employé par certains élèves, pour justifier un pas de raisonnement structuré. Un rapprochement des aspects sémiotiques, instrumentaux et discursifs est offert tout au long de l’article.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5

Similar content being viewed by others

Notes

  1. En classe de mathématique par exemple, l’élève qui a construit une droite parallèle à une autre avec la primitive « droite parallèle » peut très bien penser, lorsqu’il invoque l’oracle « parallèle? », que le logiciel retourne une réponse affirmative suivant la même logique que son action à l’écran. Pourtant, une connaissance approfondie de sa structure interne pourrait nous apprendre que le logiciel utilise un critère de colinéarité à partir d’un échantillon de points aléatoires appliqué aux équations vectorielles des droites.

  2. Avec un logiciel de géométrie dynamique, on peut très bien vérifier la cohérence d’un dessin en déplaçant les objets primitifs, sachant que l’outil est censé conserver la logique de la construction. Dans ce cas, ce n’est pas la révision du protocole de construction qui fonde le contrôle sur ce que lui offre le dessin, mais une fonctionnalité du logiciel auquel il se fie.

  3. Comme la reconnaissance de propriétés invariantes d’un dessin qui n’apparaissent que dans le mouvement.

  4. Dans sa Préface (pp. v-vi), Clairaut annonce clairement son intention : « Quoique la Géométrie soit par elle-même abstraite, il faut avouer cependant que les difficultés qu'éprouvent ceux qui commencent à s'y appliquer viennent le plus souvent de la manière dont elle est enseignée dans les Éléments ordinaires. (…) Les propositions qui viennent (…) ne fixant point l'esprit sur des objets plus intéressants, et étant d'ailleurs difficiles à concevoir, il arrive communément que les commençants se fatiguent et se rebutent avant que d'avoir aucune idée distincte de ce qu'on voulait leur enseigner (…). Il est vrai que, pour sauver cette sécheresse naturellement attachée à l'étude de la Géométrie, quelques auteurs ont imaginé de mettre, à la suite de chaque proposition essentielle, l'usage qu'on en peut faire pour la pratique; mais par là ils prouvent l'utilité de la Géométrie, sans faciliter beaucoup les moyens de l'apprendre : car chaque proposition venant toujours avant son usage, l'esprit ne revient à des idées sensibles qu'après avoir essuyé la fatigue de saisir des idées abstraites. (…) J'ai pensé [pour intéresser et éclairer les commençants] que cette science, comme toutes les autres, devait s'être formée par degrés; que c'était vraisemblablement quelque besoin qui avait fait faire les premiers pas, et que ces premiers pas ne pouvaient être hors de la portée des commençants, puisque c'étaient des commençants qui les avaient faits. (…) j'ai tâché d'en développer les principes par une méthode assez naturelle pour être supposée la même que celle des premiers inventeurs, observant seulement d'éviter toutes les fausses tentatives qu'ils ont nécessairement dû faire ».

  5. La notion de « sujet distingué » se réfère à la place relative que celui-ci occupe par rapport à un compagnon collaborateur, ce dernier faisant partie du milieu intellectuel pour le sujet.

  6. Selon les groupes ou les sous-groupes (ici dans I 2), nous avons énoncé chaque définition de référence, oralement et par écrit, à l’aide d’un dessin d’accompagnement, puis nous avons directement posé quelques questions afin de s’assurer d’une compréhension immédiate des mots et du sens de la phrase, tout en évitant soigneusement d’accentuer la structure logique des définitions ou quelque qu’éventuel statut de justification dans un pas de raisonnement. Autrement dit, au regard de la théorie des fonctions du langage de Duval (1995), nous nous sommes centrés sur la fonction référentielle de désignation d'objets et la fonction apophantique d'expression d'énoncés complets, sans y faire ressortir les fonctions d'expansion et de réflexivité discursives.

Références

  • Alsina, C., & Nelsen, R. (2006). Math made visual. Creating images for understanding mathematics. Washington: the Mathematical Association of America.

    Book  Google Scholar 

  • Balacheff, N., & Margolinas, C. (2005). Modèle de connaissances pour le calcul de situations didactiques. In A. Mercier & C. Margolinas (Eds.), Balises pour la didactique des mathématiques (pp. 75–106). Grenoble: La pensée sauvage.

    Google Scholar 

  • Bartolini-Bussi, M. G., & Maschietto, M. (2005). Macchine matematiche: Dalla storia alla scuola. Springer.

  • Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. La Pensée Sauvage: Grenoble.

    Google Scholar 

  • Brousseau, G. (2004). Introduction à l'étude de l'enseignement du raisonnement et de la preuve : les paradoxes. La lettre de la preuve – International newsletter on the teaching and learning of mathematical proof, récupéré le 20 octobre 2015 à http://www.lettredelapreuve.it/OldPreuve/Newsletter/04Ete/04EteThemeFR.html.

  • Bryant, J., & Sangwin, C. (2008). How round is your circle? Where engineering and mathematics meet. Princeton University Press.

  • Clairaut, A. C. (2006). Éléments de géométrie. Reproduction en fac-similé de l’édition de Paris chez David fils, 1741 : Élémens de géométrie. Paris: J. Gabay.

  • Coutat, S. (2006). Intégration de la géométrie dynamique dans l'enseignement de la géométrie pour favoriser une liaison école primaire – collège : Une ingénierie au collège sur la notion de propriété. Grenoble: Thèse de l’Université Joseph Fourier.

    Google Scholar 

  • Coutat, S., & Richard, P. R. (2011). Les figures dynamiques dans un espace de travail mathématique pour l’apprentissage des propriétés géométriques. Annales de didactique et de sciences cognitives, 16, 97–126.

    Google Scholar 

  • CSP (2015). Projet de programmes pour les cycles 2, 3, 4, septembre 2015. Publication du Conseil Supérieur des Programmes (CSP). http://cache.media.education.gouv.fr/file/09_-_septembre/22/9/programmes_cycles_2_3_4_469229.pdf . Consulté le 2015-10-20.

  • Duval, D. (1995). Sémiosis et pensée humaine : Registre sémiotique et apprentissages intellectuels. Berne: Peter Lang.

    Google Scholar 

  • Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l’apprentissage de la géométrie : Développement de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements. Annales de didactique et de sciences cognitives, 10, 5–53.

    Google Scholar 

  • Egret, M.-A., & Duval, R. (1989). Comment une classe de quatrième a pris conscience de ce qu'est une démarche de démonstration. Annales de didactique et de sciences cognitives, 2, 41–64.

    Google Scholar 

  • Falcade, R., Laborde, C., & Mariotti, M. A. (2007). Approaching functions: Cabri tools as instruments of semiotic mediation. Educational Studies in Mathematics, 66, 317–333.

    Article  Google Scholar 

  • Houdement, C., & Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives, 11, 175–193.

    Google Scholar 

  • Kuzniak, A. (2011). L’espace de travail mathématique et ses genèses. Annales de didactique et de sciences cognitives, 16, 9–24.

    Google Scholar 

  • Kuzniak, A., & Richard, P. R. (2014). Espaces de travail mathématique. Point de vues et perspectives. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 17(4-I), 5–40.

    Google Scholar 

  • Laborde, C., & Capponi, B. (1994). Cabri-Géomètre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14(1, 2), 165–210.

    Google Scholar 

  • Maschietto, M., Mithalal, J., Richard, P. R., & Swoboda, E. (2013). Introduction to the geometrical thinking working group. Actes du Congress of European Research in Mathematics Education (CERME8), 578-584.

  • MÉLS (2006, 2007). Chapitre 6 : Domaine de la mathématique, de la science et de la technologie. Programme de formation de l’école québécoise, éducation préscolaire - enseignement primaire (2006), enseignement secondaire 1 er cycle (2006) et enseignement secondaire 2 e cycle (2007). Publication du Gouvernement du Québec.

  • Perrin-Glorian, M.-J., Mathé, A.-C., & Leclercq, R. (2013). Comment peut-on penser la continuité de l’enseignement de la géométrie de 6 à 15 ans? Le jeu sur les supports et les instruments. Repères – IREM, 90, 5–14.

    Google Scholar 

  • PISA (2012). Cadre d’évaluation de PISA 2009 – Connaissances et compétences en mathématiques, lecture, science et résolution de problèmes. Publication de l’Organisation de coopération et de développement économiques.

  • Polya, G. (1990). Mathematics and plausible reasoning, volume I: Induction and analogy in mathematics; volume II: Patterns of plausible inference. Princeton University Press.

  • Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, une approche cognitive des instruments contemporains. Paris: Armand Colin.

    Google Scholar 

  • Rabardel, P., & Pastré, P. (2005). Modèles du sujet pour la conception. Dialectiques activités développement. Toulouse: Octarès.

    Google Scholar 

  • Radford, L. (2006). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Relime, Número Especial, 103-129.

  • Richard, P. R. (2004a). L’inférence figurale : Un pas de raisonnement discursivo-graphique. Educational Studies in Mathematics, 57, 229–263.

    Article  Google Scholar 

  • Richard, P. R. (2004b). Raisonnement et stratégies de preuve dans l’enseignement des mathématiques. Berne: Peter Lang.

    Google Scholar 

  • Richard, P. R., & Fortuny, J. M. (2007). Amélioration des compétences argumentatives à l’aide d’un système tutoriel en classe de mathématique au secondaire. Annales de didactique et de sciences cognitives, 12, 83–116.

    Google Scholar 

  • Richard, P. R., & Sierpinska, A. (2004). Étude fonctionnelle-structurelle de deux extraits de manuels anciens de géométrie. Revue des sciences de l'éducation, 30(2), 379–409.

    Article  Google Scholar 

  • Richard, P. R., Meavilla, V., & Fortuny, J. M. (2010). Textos clásicos y geometría dinámica: Estudio de un aporte mutuo para el aprendizaje de la geometría. Enseñanza de las Ciencias, 28(1), 95–111.

    Google Scholar 

  • Richard, P.R., Oller, A.M., & Meavilla, V. (2016). The concept of proof in the light of mathematical work. ZDM - The International Journal on Mathematics Education, 48(5).

  • Stylianides, J. A. (2007). The notion of proof in the context of elementary school mathematics. Educational Studies in Mathematics, 65, 1–20.

    Article  Google Scholar 

  • Sutherland, R., & Balacheff, N. (1999). Didactical complexity of computational environments for the learning of mathematics. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 4, 1–26.

    Article  Google Scholar 

  • TUNING (2003). Tuning educational structures in Europe. Informe final. Fase uno. Publication de la Commission européenne dans le cadre du programme Socrates. In González, J., & Wagenaar, R. Bilbao (Éds.). Universidad de Deusto y Universidad de Groningen.

  • Vergnaud, G. (1981). Quelques orientations théoriques et méthodologiques des recherches françaises en didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 2(2), 215–231.

    Google Scholar 

  • Vergnaud, G. (1991). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10(2, 3), 133–170.

    Google Scholar 

  • Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological process. Cambridge: Havard University Press.

    Google Scholar 

  • Weiss, L. (2014). La géométrie, domaine mal-aimé des mathématiques scolaires genevoises? Math-École, 222, 50–58.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Corresponding author

Correspondence to Philippe R. Richard.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Check for updates. Verify currency and authenticity via CrossMark

Cite this article

Coutat, S., Laborde, C. & Richard, P.R. L’apprentissage instrumenté de propriétés en géométrie : propédeutique à l’acquisition d’une compétence de démonstration. Educ Stud Math 93, 195–221 (2016). https://doi.org/10.1007/s10649-016-9684-9

Download citation

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s10649-016-9684-9

Keywords

Mots-clefs

Navigation