A note on a function involving complete elliptic integrals: monotonicity, convexity, inequalities

Abstract

We study monotonicity and convexity properties of the function

$\Delta (r) = \frac{{\varepsilon - r'^2 \mathcal{K}}} {{r^2 }} - \frac{{\varepsilon ' - r^2 \mathcal{K}'}} {{r'^2 }}$

, where κ and ε denote the complete elliptic integrals of the first and second kind, respectively. Moreover, we present some inequalities for Δ.

Резюме

Мы изучаем своИства монотонности и выпуклости функции

$\Delta (r) = \frac{{\varepsilon - r'^2 \mathcal{K}}} {{r^2 }} - \frac{{\varepsilon ' - r^2 \mathcal{K}'}} {{r'^2 }}$

, где K и E обозначают полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Кроме того, мы приводим несколько неравенств для Д.