Generalization of some polynomial inequalities not vanishing in a disk

Abstract

If

$P(z) = \sum\limits_{\nu = 0}^n {c_\nu z^\nu } $

is a polynomial of degree n, then for |β| ≤ 1, it was proved in [4] that

$\left| {zP'(z) + n\frac{\beta } {2}P(z)} \right| \leqslant n\left| {1 + \frac{\beta } {2}} \right|\mathop {\max }\limits_{|z| = 1} |P(z)|,|z| = 1 $

In this paper, first we generalize the above result for the s ^th derivative of polynomials and next we improve the above inequality for polynomials with restricted zeros.

абстрактный

Если

$P(z) = \sum\limits_{\nu = 0}^n {c_\nu z^\nu } $

многочлен порядка n, то как это было докаэано в [4], для β<1 выполнена оценка

$\left| {zP'(z) + n\frac{\beta } {2}P(z)} \right| \leqslant n\left| {1 + \frac{\beta } {2}} \right|\mathop {\max }\limits_{|z| = 1} |P(z)|,|z| = 1 $

В данной работе мы обобшаем это неравенство на случай проиэводной более высокого порядка s, а эатем улучщаем его для многочленов с ограничениями, наложенными на расположение корней.