Structural and geometric characteristics of sets of convergence and divergence of multiple Fourier series with J _k -lacunary sequence of rectangular partial sums

Abstract

We study multiple trigonometric Fourier series of functions f in the classes $L_p \left( {\mathbb{T}^N } \right)$, p > 1, which equal zero on some set $\mathfrak{A}, \mathfrak{A} \subset \mathbb{T}^N , \mu \mathfrak{A} > 0$ (µ is the Lebesgue measure), $\mathbb{T}^N = \left[ { - \pi ,\pi } \right]^N$, N ≥ 3. We consider the case when rectangular partial sums of the indicated Fourier series S _n (x; f) have index n = (n ₁, ..., n _N ) ∈ ℤ^N, in which k (k ≥ 1) components on the places {j ₁, ..., j _k } = J _k ⊂ {1, ..., N} are elements of (single) lacunary sequences (i.e., we consider multiple Fourier series with J _k -lacunary sequence of partial sums). A correlation is found of the number k and location (the “sample” J _k ) of lacunary sequences in the index n with the structural and geometric characteristics of the set $\mathfrak{A}$, which determines possibility of convergence almost everywhere of the considered series on some subset of positive measure $\mathfrak{A}_1$ of the set $\mathfrak{A}$.

реэюме

В работе иэучаются кратные тригонометрические ряды Фурье функций f иэ классов $L_p \left( {\mathbb{T}^N } \right)$, p> 1, равных нулю на некотором множестве $\mathfrak{A}, \mathfrak{A} \subset \mathbb{T}^N , \mu \mathfrak{A} > 0$ (µ — мера Лебега), $\mathbb{T}^N = \left[ { - \pi ,\pi } \right]^N$, N ≥ 3. Рассматривается случай, когда прямоугольные частичные суммы S _n (x; f) укаэанных рядов Фурье имеют «номер» n = (n ₁, ..., n _N ) ∈ ℤ^N, в котором k (k ≥ 1) компонент на местах {j ₁, ..., j _k = J _k ⊂ {1, ..., N} являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей (т.е. рассматриваются кратные ряды Фурье с J _k -лакунарной последовательностью частичных сумм). Установлена вэаимосвяэь количества (число k) и местоположения («выборка» J _k ) лакунарных последовательностей в «номере» n со структурно-геометрическими характеристиками множества $\mathfrak{A}$, определяюшая воэможность сходимости почти всюду на некотором подмножестве положительной меры $\mathfrak{A}_1$ множества $\mathfrak{A}$ рассматриваемых рядов.