Analytic theory of finite asymptotic expansions in the real domain. Part I: two-term expansions of differentiable functions

Abstract

We establish a general analytic theory of asymptotic expansions of type

$$f(x) = a_1 \varphi _1 (x) + \cdots + a_n \varphi _n (x) + o(\varphi _n (x)) x \to x_0 ,$$

(1)

, where the given ordered n-tuple of real-valued functions (ϕ ₁, ..., ϕ _n ) forms an asymptotic scale at x ₀ ∈ . By analytic theory, as opposed to the set of algebraic rules for manipulating finite asymptotic expansions, we mean sufficient and/or necessary conditions of general practical usefulness in order that (*) hold true. Our theory is concerned with functions which are differentiable (n − 1) or n times and the presented conditions involve integro-differential operators acting on f, ϕ ₁, ..., ϕ _n . We essentially use two approaches; one of them is based on canonical factorizations of nth-order disconjugate differential operators and gives conditions expressed as convergence of certain improper integrals, very useful for applications. The other approach starts from simple geometric considerations and gives conditions expressed as the existence of finite limits, as x → x ₀, of certain Wronskian determinants constructed with f, ϕ ₁, ..., ϕ _n . There is a link between the two approaches and it turns out that some of the integral conditions found via the factorizational approach have geometric meanings. Our theory extends to more general expansions the theory of real-power asymptotic expansions thoroughly investigated in previous papers. In the first part of our work we study the case of two comparison functions ϕ ₁, ϕ ₂ because the pertinent theory requires a very limited theoretical background and completely parallels the theory of polynomial expansions.

Резуме

Мы разрабатываем обшуу аналитическуу теориу асимптотических разло-жениИ вида

$$f(x) = a_1 \varphi _1 (x) + \cdots + a_n \varphi _n (x) + o(\varphi _n (x)) x \to x_0 ,$$

(2)

где заданный упорядоченный набор из n вешественнозначных функций (ϕ ₁, ..., ϕ _n ) составляет асимптотическуу щкалу в x ₀ ∈ . Под аналитической теорией, в отличие от набора алгебраических правил обрашения с конечными асимптоти-ческими разложениями, мы подразумеваем Эффективные в исполязовании доста-точные и/или необходимые условия для того, чтобы имело место соотнощение (*). Наща теория относится к функциям, которые дифференцируемы (n − 1) или n раз, а полученные условия выражены в терминах интегро-дифференциаляных опера-торов, которые действуут на f, ϕ ₁, ..., ϕ _n . В сушности, мы полязуемся двумя подходами; один из них основан на канонических факторизациях несопряжëнных дифференциаляных операторов n-го порядка. Этот подход доставляет условия, выраженные в терминах сходимости некоторых несобственных интегралов, весяма полезных в приложениях. Другой подход начинается с простых геометричес-ких рассмотрений, и доставляет условия, выраженные в терминах сушествования конечных пределов при x → x ₀ для некоторых определителей Вронского для функций f, ф ₁, ..., ф _n . Сушествует связя между этими двумя подходами, причëм оказывается, что некоторые интеграляные условия факторизационного подхода имеут геометрическии смысл. Наща теория распространяется на более обшие случаи вешественно-степенных асимптотических разложений, которые были подробно изучены в предществууших работах. В первой части настояшей работы мы специаляно исследуем частный случай двух функций сравнения ф ₁, ф ₂, посколяку соответствуушая теория требует лищя малого предварителяного материала и пол-ностяу параллеляна с теорией полиномиаляных разложений.