Absolute convergence of Walsh-Fourier series and related results

Abstract

We consider the Walsh orthonormal system on the interval [0, 1) in the Paley enumeration and the Walsh-Fourier coefficients $\hat f$ (n), n ∈ ℕ, of functions f ∈ L ^p for some 1 < p ≤ 2. Our aim is to find best possible sufficient conditions for the finiteness of the series Σ ^∞_n=1 a _n |$\hat f$(n)|^r, where {a _n } is a given sequence of nonnegative real numbers satisfying a mild assumption and 0 < r < 2. These sufficient conditions are in terms of (either global or local) dyadic moduli of continuity of f. The sufficient conditions presented in the monograph [2] are special cases of our ones.

—

Рассматривается ортонормированная na интервале [0,1) система Уолща в нумерации Пели, и $\hat f$ (n), n ∈ ℍ обоэначают козффициенты Фурье-Уолща неко- торой функции f ∈ L ^p,где 1 < p ≤ 2. Цель работы — установить неулучщаемые достаточные условия для сходимости ряда Σ ^∞_n=1 a _n |$\hat f$(n)|^r, тде — эаданная последовательность положительных чисел, удовлетворяюшая некоторому слабому дополнительному условию, и 0 <r < 2. Эти условия выражены в терминах ди- адического модуля непрерывности (глобального или локального) функции f,и обобшают соответствуюшие реэультаты иэ монографии [2].