Derived space of L _p (G, H)

Abstract

Let G denote a locally compact abelian group and H a separable Hilbert space. Let L _p (G, H), 1 ≤ p < ∞, be the space of H-valued measurable functions which are in the usual L _p space. Motivated by the work of Helgason [1], Figa-Talamanca [11] and Bachelis [2, 3], we have defined the derived space of the Banach space L _p (G, H) and have studied its properties. Similar to the scalar case, we prove that if G is a noncompact, locally compact abelian group, then L ⁰ _p (G, H) = {0} holds for 1 ≤ p < 2. Let G be a compact abelian group and Γ be its dual group. Let S _p (G, H) be the L ₁(G) Banach module of functions in L _p (G, H) having unconditionally convergent Fourier series in L _p -norm. We show that S _p (G, H) coincides with the derived space L ⁰ _p (G, H), as in the scalar valued case. We also show that if G is compact and abelian, then L ⁰ _p (G, H) = L ₂(G, H) holds for 1 ≤ p ≤ 2. Thus, if F ∈ L _p (G, H), 1 ≤ p < 2 and F has an unconditionally convergent Fourier series in L _p -norm, then F ∈ L ₂(G, H).

Let Ω be the set of all functions on Γ taking only the values 1, −1 and Ω* be the set of all complex-valued functions on Γ having absolute value 1. As an application of the derived space L ⁰ _p (G, H), we prove the following main result of this paper. Let G be a compact abelian group and F be an H-valued function on the dual group Γ such that

$$ \sum \omega (\gamma )F(\gamma )\gamma $$

is a Fourier-Stieltjes series of some measure µ ∈ M(G, H) for every scalar function ω such that |ω(γ)| = 1. Then F ∈ l ²(Γ, H).

qRезюме

Пусть G обозначает локально компактную абелеву группу, а H — сепарабельное пространство Гильберта. Обозначим L _p (G, H), 1 ≤ p < ∞, пространство измеримых H-значных функций из обычного пространства L _p . В данной работе, мотивированной исследованиями Хельгасона [1] Фига-Таламанка [11] и Бачелис [2, 3], мы вводим понятие и исследуем свойства производного пространства для Банахова пространства L _p (G, H). Подобно скалярному случаю, мы устанавливаем, что если G некомпактная, но локально компактная абелева группа, то для 1 ≤ p ≤ 2 выполнено соотнощение L ⁰ _p (G, H) = {0}. Далее, пусть G компактная абелева группа, а Γ — дуальная ей. Обозначим S _p (G, H) Банахов L ₁(G)-модуль функций из L _p (G, H), обладаюших безусловно сходяшимся рядом Фурье в норме L _p . Мы доказываем, что как и в скалярно-значном случае S _p (G, H) совпадает с производным пространством L ⁰ _p (G, H). Мы также устанавливаем, что если группа О компактная и абелева, то L ⁰ _p (G, H) = L ₂(G, H) для 1 ≤ p ≤ 2. Таким образом, если F ∈ L _p (G, H), 1 ≤ p < 2, и ряд Фурье безусловно сходится в норме L _p , то F ∈ L ₂(G, H).

Пусть Ω обозначает множество всех функций на Γ, принимаюших значения ±1, а Ω* — множество комплексно-значных функций на Γ по модулю равных 1. Как одно из приложений производного пространства L ⁰ _p (G, H), мы устанавливаем следуюший главный результат настояшей работы. Пусть G компактная абелева группа, а F H-значная функция на дуальной группе Γ такая что ряд Σω(γ)F(γ)γ для любой скалярной функции ω, удовлетворяюшей |ω(γ)| = 1, является рядом Фурье-Стилтьеса некоторой меры µ ∈ M(G, H). Тогда F ∈ ℓ²(G, H).