Composition of Haar paraproducts: the random case

Abstract

When is the composition of paraproducts bounded? This is an important, and difficult question. We consider randomized variants of this question, finding nonclassical characterizations. For dyadic interval I, let h _I = h ⁰ _I be the L ²-normalized Haar function adapted to I, the superscript 0 denoting that it has integral zero. Set h ¹ _I = |h _I |, the superscript 1 denoting a nonzero integral. A (classical dyadic) paraproduct with symbol b is one of the operators

. Here, ɛ, δ ∈ {0, 1}, with one of the two being zero and the other one. We characterize when certain randomized compositions B(b, B(β, ·)) are bounded operators on L ²(ℝ), permitting in particular both paraproducts to be unbounded.

qRезюме

При каких условиях композиция пара-произведений ограничена? Это важная и трудная задача. Мы изучаем рандомизированные варианты этой задачи, и устанавливаем неклассические характеризации. Для двоичного интервала I, пусть h _I = h ⁰ _I обозначает нормированную в L ² функцию Хаара с носителем I, причем верхний индекс 0 употреблен чтобы подчеркнуть, что среднее значение зтой функции по определению нулевое. Положим h ¹ _I = |h _I |, где верхний индекс 1 в зтот раз подчеркивает ненулевое среднее. Классическое (двоичное) nара-nроuзведенuе с сuмволом ь — зто один из операторов вида

. Здесь ɛ, δ ∈ {0, 1}, причем если одно из зтих двух чисел равно 0, то другое равно 1. В зтой работе мы находим условия, при которых рандомизированные композиции $\mathbb{B}$(b, $\mathbb{B}$(β, ·)) являются ограниченными операторами на L ²(ℝ), хотя каждое из пара-произведений в отдельности не обязано быть ограниченным.