General modeling of karst spring hydrographs and development of a dimensionless karstic hydrograph concept

Abstract

The response of a karstic-aquifer solution-cavity network subjected to a rainfall event leads to a hydrograph with rapidly increasing rising limb, but comparatively slower recession limb. In published studies, initial (early time) recession limb discharges have been modeled by consideration of the square root (nonlinear) response of the hydraulic head to karstic-sinkhole spring discharge. Late-time recession limb discharges are usually modelled by various mathematical methods such as exponential, quadratic and power functions, and straight line on semi-logarithmic plots. Hence, the recession-limb has been represented by different models, but without any model for the middle-time portion. In this paper, first, for early recession-limb times, a power model is developed by means of a convergence series. The result is compared with the literature models and it is observed that the presented model is significantly better than the previous ones. The literature models used the power 0.5, but this study uses 0.6 (a mathematical explanation for this adaptation is given elsewhere). The final portion of the recession limb is modelled by a straight line. Hence, the two-piece model used for the recession limb is examined. Then, a completely new approach is developed, where the whole karstic-sinkhole spring-discharge hydrograph is modelled mathematically by a single model through the logarithmic normal function. Finally, a dimensionless karstic-sinkhole spring-discharge hydrograph is suggested and its graphical and numerical forms are given for practical use by other researchers.

Résumé

La réponse d’un réseau de cavités karstiques aquifères soumis à un événement pluvieux donne lieu à un hydrographe avec une rapide montée de pic de crue, mais avec une courbe de récession plus lente. Dans les études publiées, les débits initiaux des courbes de récession ont été modélisés en considérant la réponse de la racine carrée (non linéaire) de la charge hydraulique au débit de la source d’une perte karstique. Les débits de la partie tardive de la récession sont habituellement modélisés à l’aide de différentes méthodes mathématiques telles que des fonctions exponentielles, quadratiques ou de puissance, et une ligne droite sur des graphiques semi-logarithmiques. La récession a été représentée ainsi par différents modèles, mais aucun modèle considère la partie intermédiaire. Dans cet article, un modèle de type puissance est développé d’abord pour les périodes de récession précoce, à l’aide de séries de convergence. Le résultat est comparé avec les modèles de la littérature et on constate que le modèle présenté donne de bien meilleurs résultats que les précédents. Les modèles de la littérature utilisent une puissance de 0.5, mais cette étude utilise une valeur de 0.6 (une explication mathématique pour cette adaptation est donnée par ailleurs). La partie finale de la courbe de récession est modélisées par une ligne droite. Le modèle à deux pièces utilisé pour la courbe de récession est ainsi examiné. Ensuite, une complètement nouvelle approche est développée, avec la modélisation mathématique de l’ensemble de l’hydrographe du débit de la perte à la source karstique à l’aide d’un seul modèle basé sur la fonction logarithmique normale. Finalement, un hydrographe adimensionnel du débit de la perte à la source karstique est proposé et ses représentations graphiques et numériques sont données afin qu’elles puissent être utilisées par d’autres chercheurs.

Resumen

La respuesta de una red de cavidades en un acuífero kárstico sujeta a un evento de lluvia conduce a un hidrograma con una rama ascendente que aumenta rápidamente, pero una rama de recesión comparativamente más lenta. En estudios publicados, las descargas iniciales (de tiempo inicial) de las ramas de recesión han sido modeladas considerando la respuesta de la raíz cuadrada (no lineal) de la carga hidráulica a la descarga del manantial kárstico. Las descargas tardías de las extremidades de la recesión suelen modelarse mediante diversos métodos matemáticos, como funciones exponenciales, cuadrática y de potencia, y en línea recta en gráficos semilogarítmicos. Por lo tanto, la rama de recesión ha sido representada por diferentes modelos, pero sin ningún modelo para la porción de medio tiempo. En este trabajo, en primer lugar, para los tiempos iniciales de recesión y ascenso, se desarrolla un modelo de potencia mediante una serie convergente. El resultado se compara con los modelos de la literatura y se observa que el modelo presentado es significativamente mejor que los anteriores. Los modelos de la literatura usaron la potencia 0.5, pero este estudio usa 0.6 (una explicación matemática para esta adaptación se da aparte). La parte final de la extremidad de la recesión está modelada por una línea recta. Por lo tanto, se examina el modelo de dos piezas utilizado para la rama de recesión. Luego, se desarrolla un enfoque completamente nuevo, donde todo el hidrograma de descarga para el manantial kárstico es modelado matemáticamente por un solo modelo a través de la función logarítmica normal. Finalmente, se sugiere un hidrograma de descarga adimensional para un manantial kárstico y sus formas gráficas y numéricas son dadas para uso práctico por otros investigadores.

摘要

岩溶含水层的溶洞网络对降雨事件的响应将产生迅速上升段而且相对缓慢衰减段的水文过程线。在已出版的研究中,根据水头与岩溶-落水洞泉流量的平方根(非线性)相关关系,模拟了初期(早期)的衰减段排泄量。后期的衰减段排泄量常通过各类数学方法模拟,例如指数、二次以及幂函数模型和半对数图线性模型等。虽然衰退段可以用各种不同的模型表达,但目前还没有模型考虑衰退段的中期部分。在本论文中,首先利用收敛级数建立了早期衰退段模拟的幂函数模型。将模型结果与文献中的模型结果相比较,发现本模型显著优于后者。文献中的模型使用的是0.5次幂,而本文的使用的是0.6次幂(模型改进的数学解释在其它地方给出)。衰退段的后期部分通过线性模型模拟。随后验证了早期和后期的两个模型。在此基础上,本文提出了一种全新的研究方法,即通过对数正态函数用单一模型对整个岩溶-落水洞泉排泄过程线进行数学建模。最后,提出了一种无量纲的岩溶-落水洞泉排泄过程线,并给出了其图形和数值形式,供其他研究人员参考。

Resumo

A resposta de uma rede de cavidades de solução de um aquífero cárstico sujeita a um evento de chuva resulta em um hidrograma com dados em ascensão que crescem rapidamente, entretanto, comparativamente mais lento em termos de recessão. Em estudos publicados, as descargas (tempos iniciais) dos dados de recessão têm sido modeladas considerando a resposta da raiz quadrada (não linear) da carga hidráulica à descarga da nascente de um sumidouro cárstico. As descargas tardias de dados de recessão são geralmente modeladas por vários métodos matemáticos, como funções exponenciais, quadráticas e de potência, bem como linha reta em parcelas semilogarítmicas. Portanto, dados de recessão têm sido representados por diferentes modelos, mas sem nenhum modelo para a porção do período médio. Neste artigo, primeiro, para tempos iniciais de recessão, um modelo de potência é desenvolvido por meio de uma série de convergências. O resultado é comparado com modelos da literatura e observa-se que o modelo apresentado é significativamente melhor que os anteriores. Os modelos da literatura usam potência 0.5, mas este estudo usa 0.6 (uma explicação matemática para essa adaptação é dada em outro local). A porção final dos dados de recessão é modelada por uma linha reta. Portanto, o modelo de duas peças usado para os dados de recessão é examinado. Em seguida, é desenvolvida uma abordagem completamente nova, na qual todo o hidrograma de descarga de nascente de sumidouro cárstico é modelado matematicamente por um modelo único a partir de uma função normal logarítmica. Por fim, é sugerido um hidrograma de descarga de nascente de sumidouro cárstico adimensional, e suas formas gráficas e numéricas são fornecidas para uso prático por outros pesquisadores.