Bahnkorrektur auf Ellipsenbahnen

Zusammenfassung

Mit Hilfe der erweiterten Hillschen Gleichungen für Ellipsenbahnen wird eine Methode zur Bahnkorrektur von Satelliten angegeben. Im Teil 1 wurden hierzu die für kleine Exzentrizitäten gültigen vereinfachten Differenzialgleichungen benutzt. Dort war die Zeit die unabhängige Variable. Als Ausgangspunkt der analytischen Rechnungen dienen jetzt die für beliebige Ellipsenbahnen gültigen Bewegungsgleichungen mit der wahren Anomalie als unabhängiger Variabler. Dieser zeitlich veränderliche Bahnparameter kann hier anstatt der Transferzeit als frei wählbare Variable benutzt werden. Zu dieser gewählten wahren Anomalie, bei der der Übergang auf die Soll-Bahn stattfinden kann, werden die beiden erforderlichen Geschwindigkeitskorrekturen sowie der Gesamtgeschwindigkeitsbedarf für ein Zwei-Impuls-Manöver analytisch ermittelt und formelmäßig angegeben. Wegen auftretender Unendlichkeitsstellen sind jedoch Einschränkungen bei der Wahl des Parameters gegeben. Diese Singularitäten können ebenfalls analytisch bestimmt werden, teilweise formelmäßig und für einen Sonderfall durch eine Bestimmungsgleichung. Es zeigt sich, dass zwischen den Unendlichkeitsstellen Minimalstellen für den Geschwindigkeitsbedarf liegen. Es wird dazu gezeigt wie der optimale Parameter für einen minimalen Geschwindigkeitsbedarf zur Treibstoffoptimierung bestimmt werden kann. Die Zielfunktion dieser Optimierung hängt dabei nur von einer Variablen, nämlich der wahren Anomalie ab. Daher kann das Minimum mit einem Optimierungsverfahren oder noch einfacher mit dem Newton-Verfahren numerisch leicht bestimmt werden. Die angegebene Methode lässt sich auch auf verwandte Probleme der Bahnmechanik anwenden.

Abstract

Using the extended Hill’s equations for elliptical orbits a method of path correction for satellites is presented. In part 1 the simplified differential equations for small eccentricities were used. In those governing equations the time was the independent variable. In this part the basic equations guilty for any elliptical orbit with the true anomaly as independent variable are used. Now, this time dependent orbital element may be used as variable instead of the transfer time. For such a chosen true anomaly at encounter, the two instantaneous velocity changes for a two-impulse transfer are determined. Additional the restrictions by singularities for this parameter are outlined by formulas and it is shown how the optimal parameter of minimal $\Delta v$, which is located between two singularities, will be computed. The objective function depends on one variable only, i.e. the true anomaly. Therefore, the minimum may be numerically determined straightforward by using an optimization program or more sophisticated by applying the Newton method. The method of path correction used here may be also applied to related problems of orbit mechanics.

Anhang

1.1 Funktionen und Ableitungen

Mit den Abkürzungen $s_{0}=\sin\theta_{0}$, $c_{0}=\cos\theta_{0}$, $k_{0}=1+e\,c_{0}$, $s=\sin\theta$, $c=\cos\theta$, $k=1+e\,c$ schreiben wir die Funktionen und deren Ableitungen $F_{i}^{(n)}(\theta)=\frac{d^{n}F_{i}(\theta)}{d\theta^{n}}$ usw. bis dritter Ordnung

$$F_{i}^{(n)}(\theta)=\sum_{j=1}^{4}F_{ij}\,\varphi_{j}^{(n)}(\theta),\quad i=1,2,3,4,\quad n=0,1,2,3$$

$$G_{i}^{(n)}(\theta)=\sum_{j=1}^{3}F_{ij}\,\psi_{j}^{(n)}(\theta),\quad i=1,2,3,4,\quad n=0,1,2,3$$

$$H_{i}^{(n)}(\theta)=\sum_{j=1}^{2}H_{ij}\,\phi_{j}^{(n)}(\theta),\quad i=1,2,\quad n=0,1,2,3$$

mit

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle F_{11}=s_{0},\quad F_{12}=2s_{0}k_{0}^{2}I_{0},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle F_{13}=-s_{0}k_{0}^{2},\quad F_{14}=k_{0}c_{0}^{2}-s_{0}^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle F_{21}=-\frac{2}{e}k_{0},\quad F_{22}=\frac{1}{e}[s_{0}-2(1+k_{0})k_{0}^{2}I_{0}],\quad\\ \displaystyle&\displaystyle F_{23}=\frac{1}{e}(1+k_{0})k_{0}^{2},\quad F_{24}=\frac{1}{e}s_{0}(2+k_{0})k_{0}\\ \displaystyle&\displaystyle F_{31}=-\frac{1}{ek_{0}},\quad F_{32}=-\frac{2}{e}k_{0}I_{0},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle F_{33}=\frac{1}{e}k_{0},\quad F_{34}=\frac{s_{0}(1+k_{0})}{ek_{0}}\\ \displaystyle&\displaystyle F_{41}=0,\quad F_{42}=\frac{c_{0}}{ek_{0}^{2}}-2s_{0}I_{0},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle F_{43}=s_{0},\quad F_{44}=-\frac{c_{0}}{e}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle H_{11}=s_{0},\quad H_{12}=e+c_{0},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle H_{21}=\frac{c_{0}}{k_{0}},\quad H_{22}=-\frac{s_{0}}{k_{0}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\varphi_{1}(\theta)=s+\frac{s}{k},\quad\varphi_{1}^{\prime}(\theta)=c+\frac{e+c}{k^{2}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{1}^{\prime\prime}(\theta)=-s-\frac{s}{k^{2}}+\frac{2e(e+c)s}{k^{3}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{1}^{\prime\prime\prime}(\theta)=-c+\frac{2e-c}{k^{2}}-\frac{6es^{2}}{k^{3}}+\frac{6e^{2}(e+c)s^{2}}{k^{4}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{2}(\theta)=k,\quad\varphi_{2}^{\prime}(\theta)=-es,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{2}^{\prime\prime}(\theta)=-ec,\quad\varphi_{2}^{\prime\prime\prime}(\theta)=es,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{3}(\theta)=I_{2}(\theta),\quad\varphi_{3}^{\prime}(\theta)=I_{2}^{\prime}(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{3}^{\prime\prime}(\theta)=I_{2}^{\prime\prime}(\theta),\quad\varphi_{3}^{\prime\prime\prime}(\theta)=I_{2}^{\prime\prime\prime}(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{4}(\theta)=\frac{1}{k},\quad\varphi_{4}^{\prime}(\theta)=\frac{es}{k^{2}},\quad\varphi_{4}^{\prime\prime}(\theta)=\frac{ec}{k^{2}}+\frac{2e^{2}s^{2}}{k^{3}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\varphi_{4}^{\prime\prime\prime}(\theta)=\frac{-es}{k^{2}}+\frac{6e^{2}sc}{k^{3}}+\frac{6e^{3}s^{3}}{k^{4}},\quad\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\psi_{1}(\theta)=-c,\quad\psi_{1}^{\prime}(\theta)=s,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\psi_{1}^{\prime\prime}(\theta)=c,\quad\psi_{1}^{\prime\prime\prime}(\theta)=-s,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\psi_{2}(\theta)=es,\quad\psi_{2}^{\prime}(\theta)=ec,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\psi_{2}^{\prime\prime}(\theta)=-es,\quad\psi_{2}^{\prime\prime\prime}(\theta)=-ec,\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\psi_{3}(\theta)=I_{1}(\theta),\quad\psi_{3}^{\prime}(\theta)=I_{1}^{\prime}(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\psi_{3}^{\prime\prime}(\theta)=I_{1}^{\prime\prime}(\theta),\quad\psi_{3}^{\prime\prime\prime}(\theta)=I_{1}^{\prime\prime\prime}(\theta),\quad\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\phi_{1}(\theta)=\frac{s}{k},\quad\phi_{1}^{\prime}(\theta)=\frac{e+c}{k^{2}},\quad\phi_{1}^{\prime\prime}(\theta)=\frac{(ec+2e^{2}-1)s}{k^{3}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\phi_{1}^{\prime\prime\prime}(\theta)=-\frac{e^{2}c^{3}+(1-4e^{2})c+4e(1-e^{2})s^{2}-2e^{3})}{k^{4}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\phi_{2}(\theta)=\frac{c}{k},\quad\phi_{2}^{\prime}(\theta)=\frac{-s}{k^{2}},\quad\phi_{2}^{\prime\prime}(\theta)=\frac{-c}{k^{2}}-\frac{2es^{2}}{k^{3}},\quad\\ \displaystyle&\displaystyle\phi_{2}^{\prime\prime\prime}(\theta)=-\frac{(4ec+e^{2}s^{2}+5e^{2}-1)s}{k^{4}},\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle I(\theta)=\frac{1}{2}e\sqrt{1-e^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle\times\left\{3k^{2}\left[2\arctan\left(\frac{2es}{2ec+(\sqrt{1-e}+\sqrt{1+e})^{2}}\right)-\theta\right]\right.\\ \displaystyle&\displaystyle+\left.\left.\left[(1+2e^{2})c+e+\frac{2}{e}\right]\sqrt{1-e^{2}}s\right\}\right/\left[(1-e^{2})^{3}k^{2}\right],\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle I_{0}=I(\theta_{0}),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle I_{1}(\theta)=\frac{-c}{k^{2}}+2esI(\theta),\quad I_{1}^{\prime}(\theta)=\frac{s}{k^{2}}+2ecI(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle I_{1}^{\prime\prime}(\theta)=\frac{c}{k^{2}}+\frac{2e}{k^{3}}-2esI(\theta),\quad I_{1}^{\prime\prime\prime}(\theta)=\frac{-s}{k^{2}}+\frac{6e^{2}s}{k^{4}}-2ecI(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle I_{2}(\theta)=2kI(\theta),\quad I_{2}^{\prime}(\theta)=\frac{2c}{k^{2}}-2esI(\theta),\quad\\ \displaystyle&\displaystyle I_{2}^{\prime\prime}(\theta)=\frac{-2s}{k^{3}}-2ecI(\theta),\quad I_{2}^{\prime\prime\prime}(\theta)=\frac{-2c}{k^{2}}-\frac{6e^{2}s^{2}}{k^{4}}+2esI(\theta)\end{aligned}$$

1.2 Liste der Bezeichnungen

 

$a$	große Halbachse der Referenzellipse
$e$	Exzentrizität der Referenzellipse
$E$	exzentrische Anomalie
$F_{i}$, $G_{i}$, $H_{j}$	Funktionen von $\theta$, $i=1,2,3,4$, $j=1,2$
$F_{ij}$, $H_{mn}$	Koeffizienten, $i,j=1,2,3,4$, $m,n=1,2$
$\vec{e}_{\xi}$, $\vec{e}_{\eta}$, $\vec{e}_{\zeta}$	Einheitsvektoren des Relativsystems
$I,I_{1},I_{2}$	Integrale, siehe Gln. (15) und (16)
$M$	Mittlere Anomalie
$p=a(1-e^{2})$	Bahnparameter
$t$	Zeit
$t_{E}$	Zeitpunkt des zweiten Geschwindigkeitsinkrements
$T_{\pi}$	Zeitpunkt des Perizentrumdurchgangs
$\Delta v$	Geschwindigkeitsbedarf ($\Delta v=|\Delta\vec{v}_{1}|+|\Delta\vec{v}_{2}|$)
$\Delta\vec{v}_{i}$	Geschwindigkeitsinkremente, $i=1,2$
$\theta$	wahre Anomalie
$\theta_{0}$	wahre Anomalie zum Zeitpunkt $t=0$
$\theta_{E}$	wahre Anomalie zum Zeitpunkt $t_{E}$
$\mu$	Gravitationsparameter des Zentralkörpers
$\xi,\eta,\zeta$	Koordinaten des Relativsystems
$\xi_{0},\eta_{0},\zeta_{0}$	Anfangsbedingungen, Koordinaten der Ortsabweichung
$\dot{\xi}_{0},\dot{\eta}_{0},\dot{\zeta}_{0}$	Anfangsbedingungen, Koordinaten der Geschwindigkeitsabweichung
$\xi_{0}^{\prime},\eta_{0}^{\prime},\zeta_{0}^{\prime}$	Anfangsbedingungen, $(\xi_{0}^{\prime},\eta_{0}^{\prime},\zeta_{0}^{\prime})=\omega_{0}(\dot{\xi}_{0},\dot{\eta}_{0},\dot{\zeta}_{0})$
$\dot{\xi}_{T0},\dot{\eta}_{T0},\dot{\zeta}_{T0}$	Anfangsbedingungen auf der Transferbahn,
	$(\dot{\xi}_{T0},\dot{\eta}_{T0},\dot{\zeta}_{T0})=(\dot{\xi}_{0}+\Delta\dot{\xi}_{1},\dot{\eta}_{0}+\Delta\dot{\eta}_{1},\dot{\zeta}_{0}++\Delta\dot{\zeta}_{1})$
$\xi_{T0}^{\prime},\eta_{T0}^{\prime},\zeta_{T0}^{\prime}$	Anfangsbedingungen auf der Transferbahn,
	$(\xi_{T0}^{\prime},\eta_{T0}^{\prime},\zeta_{T0}^{\prime})=(\xi_{0}^{\prime}+\Delta\xi_{1}^{\prime},\eta_{0}^{\prime}+\Delta\eta_{1}^{\prime},\zeta_{0}^{\prime}++\Delta\zeta_{1}^{\prime})$
$\Delta\dot{\xi}_{i},\Delta\dot{\eta}_{i},\Delta\dot{\zeta}_{i}$	Komponenten der Geschwindigkeitsinkremente $\Delta\vec{v}_{i}$, $i=1,2$
$\Delta\xi_{i}^{\prime},\Delta\eta_{i}^{\prime},\Delta\zeta_{i}^{\prime}$	$(\Delta\xi_{i}^{\prime},\Delta\eta_{i}^{\prime},\Delta\zeta_{i}^{\prime})=\omega_{0}(\Delta\dot{\xi}_{i},\Delta\dot{\eta}_{i},\Delta\dot{\zeta}_{i})$
$\vec{\varrho}$	Ortsvektor des zweiten Satelliten im Relativsystem
$\tau=\omega_{0}t$	Zeitparameter, ($\omega_{0}^{2}=\mu/p^{3}$)
$\tau_{E}=\omega_{0}t_{E}$	Zeitparameter zu $t_{E}$
$\varphi_{i}$, $\psi_{j}$, $\phi_{k}$	Funktionen von $\theta$, $i=1,2,3,4$, $j=1,2,3$, $k=1,2$
${}^{\prime}=\frac{d}{d\theta}$
${}^{)}=\frac{d}{d\theta_{E}}$