Empirische Verfahren zur Ableitung verschiedener Porositätsarten aus Durchlässigkeitsbeiwert und Ungleichkörnigkeitszahl – ein Überblick

Zusammenfassung

Für die Berechnung hydraulischer Strömungsvorgänge in Lockergesteinen ist die realitätsnahe Quantifizierung der verschiedenen Hohlraumvolumenanteile (z. B. Gesamtporosität, durchflusswirksame Porosität, entwässerbare Porosität) erforderlich. Der vorliegende Artikel gibt einen Überblick zu den im deutschsprachigen Raum angewandten empirischen Verfahren der Porositätsschätzung aus Ungleichkörnigkeit und/oder Durchlässigkeitsbeiwert und bewertet diese hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit sowohl in der Hydrogeologie tertiärer und quartärer Lockergesteine Norddeutschlands als auch für Berechnungen von Schüttkorngütern. Die Literaturstudie umfasst Arbeiten von Lejbenson (1947), Istomina (1957), Beyer (1964), Hennig (1966), Golf (1966), Marotz (1968), Beyer und Schweiger (1969), Seiler (1973), Bureau of Reclamation (1984), Helmbold (1988), Beims und Luckner (1999), Balke et al. (2000) sowie Helmbold (2002).

Abstract

This paper comprises a review of the 13 studies that have been proposed for the derivation of porosity, effective porosity and/or specific yield from grain size distributions (Lejbenson 1947; Istomina 1957; Beyer 1964; Hennig 1966; Golf 1966; Marotz 1968; Beyer und Schweiger 1969; Seiler 1973; Bureau of Reclamation 1984; Helmbold 1988; Beims und Luckner 1999; Balke et al. 2000; Helmbold 2002). Experimental design, limitations and application boundaries are discussed and methods are compared against each other. The quality of the predictive methods strongly depends on the experimental design and the sample type.

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Appendices

Anhang A – Beyer und Schweiger (1969): Zusammenhang zwischen Ungleichkörnigkeitszahl und Gesamtporosität

Abbildung neu gezeichnet nach Beyer und Schweiger (1969, Abb. 8). Datenpunkte (n = 50) und Ausgleichsfunktion (n = 418) digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E3). Die Ausgleichsfunktionen lassen sich mathematisch als Polynom dritter Ordnung ausdrücken. Es gelten für die dichteste (Gl. 23) und die mittlere natürliche (Gl. 24) und die lockerste (Gl. 25) Lagerung für 1 ≤ C _u  ≤ 60 folgende Zahlenwertgleichungen zur Schätzung der Gesamtporosität n [%] aus der Ungleichkörnigkeitszahl C _u [–]:

$$n=-2,403\cdot \log \left (C_{u}\right )^{3}+11,538\cdot \log \left (C_{u}\right )^{2}-21,066\cdot \log \left (C_{u}\right )+38,21\left [-\right ],R^{2} =0,998$$

(23)

$$n=-2,6483\cdot \log \left (C_{u}\right )^{3}+12,401\cdot \log \left (C_{u}\right )^{2}-21,973\cdot \log \left (C_{u}\right )+41,383\left [-\right ],R^{2} =0,999$$

(24)

$$n=-1,4146\cdot \log \left (C_{u}\right )^{3}+8,4154\cdot \log \left (C_{u}\right )^{2}-18,051\cdot \log \left (C_{u}\right )+44,264\left [-\right ],R^{2} =0,992$$

(25)

Anhang B – Beims und Luckner (1999): Zusammenhang zwischen Gesamt- und durchflusswirksamer Porosität in Relation zum Durchlässigkeitsbeiwert

Abbildung neu gezeichnet nach Beims und Luckner (1999, entnommen aus DVGW W 113, 2001, Abb. 3). Ausgleichsfunktion (n = 48) digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E4). Die Ausgleichsfunktion lässt sich mit einem Polynom zweiter und dritter Ordnung ausdrücken. Zur Schätzung der durchflusswirksamen Porosität n _f [–] aus Durchlässigkeitsbeiwert [m/s] und Gesamtporosität n [–] gilt für k _f  ≤ 2,4 · 10^–6 m/s Gl. 26, bzw. für k _f  > 2,4 · 10⁻⁶ m/s Gl. 27:

$$n_{f}=n\cdot \left (0,11828\cdot \log \left (k_{f}\right )^{2}+1,633\cdot \log \left (k_{f}\right )+5,7463\right )\left [-\right ],\, \mathrm{R}^{2} =0,995$$

(26)

$$n_{f}=n\cdot \left (0,00665\cdot \log \left (k_{f}\right )^{3}+0,04273\cdot \log \left (k_{f}\right )^{2}+0,17349\cdot \log \left (k_{f}\right )+1,07918\right )\left [-\right ],\, \mathrm{R}^{2} =0,998$$

(27)

Anhang C – Golf (1966): Zusammenhang zwischen Durchlässigkeitsbeiwert und effektiv nutzbarer Porosität (Lufthaltewert)

Abbildung neu gezeichnet nach Golf (1966, Abb. 2). Datenpunkte (n = 66 + 18) und Ausgleichsfunktion (n = 269) digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E10). Für die von Golf gewählte Ausgleichsfunktion lassen sich keine einfachen mathematischen Beschreibungen finden. Weicht man von der von Golf vorgegebenen Ausgleichsfunktion ab und approximiert die Messdaten neu (Gl. 28), beschreibt eine Exponentialfunktion die Messdaten hinreichend genau. Die eigentliche Varianz der Messwerte ist in jedem Fall deutlich höher als die Abweichung der Exponentialfunktion von Golfs Ausgleichsfunktion. Die Schätzung des Zusammenhangs zwischen Durchlässigkeitsbeiwert und effektiv nutzbarer Porosität n _e (Lufthaltewert) gilt für 3 · 10⁻⁹ ≤ k _f  ≤ 10⁻³ [m/s] (R ² = 0,83; absoluter mittlerer Fehler zwischen neuer Ausgleichsfunktion und a) Messwerten: 3,3 ± 5,0 %, und b) Ausgleichsfunktion von Golf: 1,87 ± 1,05 %, in Porositätseinheiten):

$$n_{e}=258,15\cdot e^{0,6102\log \left (k_{f}\right )}\left [\mathrm{\% }\right ]$$

(28)

Anhang D – Marotz (1968): Zusammenhang zwischen Durchlässigkeitsbeiwert und wiederauffüllbarer Porosität

Gemessene Werte nach Tab. 6 der Originalliteratur sind dokumentiert im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E12).

Anhang E – Beyer und Schweiger (1969): Zusammenhang zwischen Durchlässigkeitsbeiwert und relativem entwässerbarem Porenanteil

Abbildung neu gezeichnet nach Beyer und Schweiger (1969, Abb. 9). Datenpunkte (n = 50) und Ausgleichsfunktion (n = 88) digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E13). Die Ausgleichsfunktion lässt sich mathematisch mit hinreichender Genauigkeit durch ein Polynom fünfter Ordnung approximieren. Es gilt für die mittlere natürliche Lagerung in den Grenzen von 10⁻⁸ ≤ k _f  ≤ 10⁻³ [m/s] Gl. 29 zur Schätzung der relativen entwässerbaren Porosität n _e /n [%] aus dem Durchlässigkeitsbeiwert [m/s]:

$$\frac{n_{e}}{n}=0,2136\cdot \log \left (k_{f}\right )^{5}+5,937\cdot \log \left (k_{f}\right )^{4}+62,157\cdot \log \left (k_{f}\right )^{3}+303,38\cdot \log \left (k_{f}\right )^{2}+703,31\cdot \log \left (k_{f}\right )+720,17\left [-\right ],R^{2} =0,999$$

(29)

Anhang F – Seiler (1973): Zusammenhang zwischen entwässerbarer Porosität und Durchlässigkeitsbeiwert

Abbildung modifiziert und neu gezeichnet nach Seiler (1973, Abb. 4). Datenpunkte (n = 94) digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E14). Gl. 21 schätzt die dokumentierten Messwerte mit einem mittleren relativen Fehler von 17,4 ± 12,9 % und einem mittlerer absolutem Fehler von 1,0 ± 0,9 % (Porositätseinheiten). 87 % der Messwerte können mit einer Unsicherheit ≤ ±2 % reproduziert werden.

Anhang G – BoR (1984): Zusammenhang zwischen entwässerbarer Porosität und Durchlässigkeitsbeiwert

Abbildung neu gezeichnet nach Bureau of Reclamation (1984, Original-Abb. 2–4). Die Ausgleichsfunktion (n = 74) wurde digitalisiert und elektronisch zusammengefasst im ergänzenden Material der Onlineversion dieses Artikels (767_2017_355_MOESM1_ESM.csv; 767_2017_355_MOESM2_ESM.pdf, Abb. E15). Die Ausgleichsfunktion lässt sich für k _f  ≤ 2 · 10⁻⁶ [m/s] als Potenzfunktion (Gl. 30) und für k _f  ≥ 2 · 10⁻⁶ [m/s] als Logarithmusfunktion (Gl. 31) ausdrücken. Zur Schätzung der entwässerbaren Porosität n _e [–] aus dem Durchlässigkeitsbeiwert [m/s] gilt:

$$n_{e}=57834\cdot k_{f}^{1,0706}\left [-\right ],R^{2} =0,999$$

(30)

$$n_{e}=0,0498\cdot \ln \left (k_{f}\right )+0,693\left [-\right ],R^{2} =0,999$$

(31)