Über die abstandsverträglichen Abbildungen auf dem Kreis und auf der reellen Geraden

Zusammenfassung.

Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen heißt abstandsverträglich, wenn der Abstand der Bilder zweier Punkte nur vom Abstand der Punkte selbst abhängt. Wir zeigen, dass eine Abbildung $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ genau dann abstandsverträglich ist, wenn $g:=f-f(0)$ der Cauchyschen Funktionalgleichung $g(x+y)=g(x)+g(y)$ genügt, also ein Endomorphismus der Gruppe $(\mathbb{R},+)$ ist. Ein entsprechendes Resultat gilt auch für die abstandsverträglichen Abbildungen des Kreises $S^1:=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ (mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenverknüpfung). Damit kann man sowohl alle messbaren abstandsverträglichen Abbildungen von $\mathbb{R}$ bzw. $S^1$ in sich angeben, als auch einen Nachweis für die Existenz nichtmessbarer abstandsverträglicher Abbildungen auf $\mathbb{R}$ und $S^1$ erbringen.