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Greg Lawler hat sich einen Namen gemacht mit seinen Arbeiten zu loop-erased random walk, konformer Invarianz und zur Schramm-Loewner Evolution (SLE) und gehört zu den renommiertesten Forschern auf diesem Gebiet.

Sein aktuelles Buch verspricht, eine elementare Einführung in das Thema der loop-erased random walks zu geben und konforme Invarianz und SLE zumindest zu streifen. Dies ist sehr schön gelungen, wenngleich auch hier „elementar“ nicht „einfach“ ist, sondern lediglich darauf verweist, dass der Leser ganz ohne maßtheoretische Vorkenntnisse auskommt.

Worum aber geht es und was ist loop-erased random walk? Nun, eine Irrfahrt auf dem (oder einer endlichen Teilmenge des) d-dimensionalen Zahlengitter springt in jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der 2d Nachbarpunkte. Nach und nach entsteht ein zufälliger Pfad, der auch Schleifen haben kann. Diese Schleifen werden nun nacheinander entfernt, bis ein sich selbst vermeidender zufälliger Pfad entsteht, eben der loop-erased random walk (LERW) – ein erstaunlich reichhaltiges, interessantes und hilfreiches Objekt.

Lawler führt in den ersten zwei Kapiteln mit großer Zielstrebigkeit von der Definition der Markovkette hin zu LERW und zeigt auch gleich, wie sich mit LERW Wilsons Algorithmus zur Erzeugung zufälliger Spannbäume analysieren lässt. Das Thema uniform verteilter zufälliger Spannbäume auf dem d-dimensionalen Zahlengitter (die gibt es nur bis d = 4, in höheren Dimensionen sind es Wälder) wird in Kapitel 5 noch einmal vertieft.

In Kapitel 3 werden loop soups eingeführt und analysiert. Durch einen zeitlichen stochastischen Prozess werden zu einem bestehenden Pfad zufällige Anzahlen weiterer zufälliger Schleifen hinzugefügt. Die Schleifensuppe zur Zeit eins steht in Zusammenhang mit LERW und zufälligen Spannbäumen; die Schleifensuppe zur Zeit ½ liefert, in einen Gamma-Subordinator als Zeit eingesetzt, das (diskrete) freie Gauß’sche Feld. Dieser Zusammenhang wird in Kapitel 6 beleuchtet.

In Kapitel 4 wird ein moderner Blick auf die klassische Potentialtheorie von Irrfahrten geworfen und mit Hilfe von Kapazitäten und Fluchtwahrscheinlichkeiten das harmonische Maß beschrieben, das angibt, welcher Punkt einer Teilmenge des d-dimensionalen Gitters (d > 1) von einer im Unendlichen gestarteten Irrfahrt zuerst getroffen wird.

Das siebte und letzte Kapitel beschäftigt sich mit den Skalenlimiten von LERW, konformer Invarianz und der Schramm-Loewner Differentialgleichung. Dieser sehr moderne Aspekt ist, wie auch die vorangehenden Kapitel, sehr schön dargestellt, aber in der Knappheit dieses Buches vielleicht etwas schwer verdaulich.

Die Zielgruppe, die Lawler für dieses Buch angibt, sind ambitionierte fortgeschrittene Bachelorstudenten und so hat er das ganze Buch mit interessanten Übungsaufgaben und Literaturhinweisen zur Vertiefung angereichert. Zum Selbststudium eignet sich das Buch für diese Zielgruppe meiner bescheidenen Meinung nach aber nur eingeschränkt, da das Buch insgesamt sehr schlank gehalten ist. So braucht es doch einen Lehrer, um die Formeln, die man schon nachrechnen kann, konzeptionell und im Zusammenhang erklärt zu bekommen. Für ein Seminar mit fortgeschrittenen Masterstudenten könnte es sich aber sehr gut eignen.

Insgesamt halte ich das Buch für sehr gelungen und freue mich, dass ich mir im Rahmen dieser Rezension die Zeit nehmen konnte, das Werk im Detail zu lesen.