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The first and most elementary construction of real numbers – by Karl Weierstraß

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Abstract

The hitherto unknown concept of the real numbers by Karl Weierstraß is presented.

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Notes

  1. See [28esp. p. 173]. Cauchy’s special concept “value of a function”  was overlooked until recently – and dispels his so-called “error”  about the continuity of the sum of a convergent series ([26, 27]).

  2. However, the late Bolzano presented an idea in his then unpublished manuscripts in [2]; see [24]. – See also notes 5 and 7.

  3. Jeder Versuch, die irrationalen Zahlen formal und ohne den Begriff der [extensiven] Grösse selbst zu behandeln, muss auf höchst abstruse und beschwerliche Künsteleien führen, die, selbst wenn sie sich in vollkommener Strenge durchführen liessen, wie wir gerechten Grund haben zu bezweifeln, einen höheren wissenschaftlichen Werth nicht haben. ([10, p. 46 f.]).

  4. [9, Volume of sources, f. 51].

  5. [17, pp. 50 f.], [18, pp. 72–84].

  6. [4, p. 183].

  7. [1, p. 203], see [30, p. 229]. – [35] relied on Bertrand, not on Dedekind.

  8. [3, 6, 16].

  9. [12], corrected in [13].

  10. [22, 23].

  11. [37] (I thank Prof. Rob van Stee for this hint).

  12. The latest failed attempt is [25] (cf. [7]), an earlier one is [8]. No historian dared to think of Weierstraß having made use of sets until Strauß’ lecture notes emerged.

  13. Our sources are not texts from Weierstraß, but notes from students, who were not suitably prepared to understand Weierstraß’ new ideas – and, of course, they did not grasp them in total.

  14. Weierstraß calls numbers to mind by counting. For details on his utmost precise concept of natural number see [32].

  15. Weierstraß: “genaue Teile der Einheit” .

  16. Weierstraß: “Zahlgröße” .

  17. [11, p. 7] – Weierstraß rarely gives examples, and so we have to refer to other lecture notes.

  18. [36, p. 7].

  19. Weierstraß indeed invented these definitions of numbers, but he refers to all of them as “quantities” . For clarity, we distinguish them by different names. – In these cases we avoid the names “general fraction”  and “general irrational number” .

  20. Cf. [14, p. 23], [21, p. 56], [34, p. 23].

  21. Usually the notion “constituent”  (p. 6) is false (e.g. [34, p. 76]); but [15, p. 19] cites Weierstraß on this score correctly.

  22. As already told: Weierstraß rarely gives examples. The following is my explanation of his thinking.

  23. [34, p. 81] – This ends Weierstraß’ construction of the irrational numbers: 81 large pages by Strauß.

  24. Cf. [14, p. 28 f.], [34, p. 92 f.].

  25. [36] (I thank Prof. Rob van Stee for this hint in December 2018.) – Being a modern mathematician, Tweddle naturally uses the notion of equivalence class, which of course Weierstraß had never thought of.

  26. [11, p. 10].

  27. [34, p. 84 f.].

  28. [11, p. 37].

  29. Cf. [14, p. 25]; but [21, p. 61, 77 f.], [34, p. 81 f.] – This is more explicit than [30, pp. 201 f.] and [33, p. 178].

  30. The lecture notes we have are not very precise about this, but they use other symbols for the components (like we do) than are usually used for numbers. The power of the concept “term”  is the fact that each of its parts may or may not be actual, so if \(q\) is missing in \(f\uplus q\), we may get \(f=n\) or even \(f=0\). Anyhow, Weierstraß has the imbedding \(q\mapsto(q,0)\) for his irrational numbers.

  31. Remember: Weierstraß did not name his quantities – all their names are ours!

  32. Cf. [21, p. 64], [34, p. 84 f.].

  33. The definition of the multiplication of general real numbers is to be found e.g. in [11, p. 57], it is missing in all lecture notes from winter 1880/81.

  34. [29, pp. 564–572]; [30, pp. 235 f.]; in general see as well [20] and [38].

  35. Cf. [14, pp. 32–34]; [21, pp. 82 f.]; [34, pp. 108 f.].

  36. See [19, pp. 32 f.].

  37. Concerning [36], weiss misunderstood Tweddle’s \(\bigcup\) as \(\Sigma\), i.e. he refused to accept Weierstraß’ ambition to get rid of the concept of value with might and main.

  38. After [30, pp. 195–205] i.e. [33, pp. 172–180], and [32].

  39. You cannot divide Cantor Sequences and also not Dedekind Cuts!

References

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Acknowledgements

I am deeply indebted to Prof. Klaus Keimel (1939–2017), Darmstadt, for being the first modern student of Weierstraß to grasp his number concepts, culminating in this last translation. And I am very grateful to Prof. Thomas Bauer, Marburg, Prof. Egbert Falkenberg, Frankfurt am Main, as well as to Prof. Gregor Nickel and Prof. Rob van Stee, both in Siegen, for inspiring critical remarks, to Marco Pavić, Wehrheim, and Reinhard Siegmund-Schultze, Kristiansand, for helpful hints, and to Gerald Coombes, John D. Smith and Susan Richter, London, for correcting my language.

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Authors and Affiliations

  1. Darmstadt, Germany

    Detlef D. Spalt

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  1. Detlef D. Spalt
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Spalt, D.D. The first and most elementary construction of real numbers – by Karl Weierstraß. Math Semesterber 70, 25–41 (2023). https://doi.org/10.1007/s00591-022-00330-1

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