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Ein Leben für die Polyeder – der Oberlehrer Max Brückner und seine Modelle

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Zusammenfassung

Mathematischen Modellen wird in der letzten Zeit wieder viel Beachtung geschenkt (vgl. z. B. Rowe 2013, Sattelmacher 2014 und Volkert 2017 sowie das Modellen gewidmete Heft 2 des Mathematical Intelligencer 2017). Dabei liegt der Fokus auf universitärer Mathematik und Forschung. Der vorliegende Beitrag bezieht sich auf Lehrer und zeigt am Beispiel des Oberlehrers Max Brückner aus Bautzen und seiner umfangreichen Sammlung von Polyedermodellen die Verbreitung in der schulischen Lehre und die enge Verbindung zur mathematischen Forschung.

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Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 4
Abb. 5
Abb. 6
Abb. 7
Abb. 8
Abb. 9
Abb. 10

Notes

  1. In Wikipedia (dt.) führt die Suche nach „Max Brückner“ zum berühmten Theatermaler (Heinrich) Maximilian Brückner. In Wikipedia (engl.) verläuft die Suche erfolgreich, dafür findet man eine zweite, fehlerhafte Angabe des Geburtsdatums.

  2. Die Heimat von Brückners Großvater, heute ein (Stadt‑)Teil von Zittau, im Dreiländereck Deutschland-Polen-Tschechien.

  3. Brückners Vater war Guide im kgl. Generalstab in Dresden, später Forstrentamtmann in Schwarzenberg (im Erzgebirge, nahe der Grenze zum heutigen Tschechien gelegen) (vgl. [16, S. 658]).

  4. Vgl. [9, 12, 16]. In der neuen deutschen Biographie (NDB) wird fälschlicherweise Brückners Schrift „Elemente der vierdimensionalen Geometrie“ aus dem Jahr 1894 als Dissertation angegeben.

  5. In der NDB wird die Tätigkeit am Realgymnasium fälschlicherweise in den (ähnlich klingenden) Geburtsort Zittau verlegt; in Wikipedia (engl.) taucht der Fehler infolgedessen ebenfalls auf. Möglicherweise handelte es sich bei dem Realgymnasium in Zwickau sogar um jenes, das Brückner als Schüler einige Jahre zuvor selbst besucht hatte.

  6. Neben regulären und halbregulären Polyedern insbesondere auch solche, die einander einbeschrieben sind.

  7. Zu sehen ist eine fortlaufend nummerierte Reihe von Körpern, die Aspekte der Gestalt (Morphologie) veranschaulicht.

  8. Vgl. [24, S. 1–20 und 25–31].

  9. Vgl. [25, S. 1–25]. Die Historie dieses nach einem italienischen Adelsgeschlecht benannten Problems – besser bekannt als „Problem von Cramer-Castillon“ – reicht bis ins Altertum zurück. In seiner ursprünglichen, später verallgemeinerten Form, lautet es: In einen Kreis ein Dreieck einzubeschreiben, dessen Seiten durch drei gegebene Punkte gehen.

  10. Vgl. [26].

  11. Vgl. u. a. [27]. Verwechslungsgefahr besteht hier mit Ehrhard Brückner. Dieser war jedoch Baudirektor, s. d. viele der Vortragsthemen für ihn vermutlich gar nicht in Frage gekommen wären.

  12. Vermutlich war das zum allergrößten Teil aus Nicht-Mathematikern bestehende Publikum dankbar für die der Anschauung dienlichen Modelle.

  13. Vgl. [28, S. XVII]. Diese nach August Ferdinand Möbius (1790–1868) benannten Polyeder besitzen eine Oberfläche mit nur einer Seite (man kann also nicht zwischen Innen und Außen unterscheiden); gewissermaßen das räumliche Analogon zum berühmten einseitigen Möbiusband. Vermutlich handelte es sich bei Brückners Anschauungsobjekt um das von Möbius in seiner Arbeit „Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders“ (1865) gefundene zehnflächige „Dekaeder“, dem einfachsten Beispiel eines einseitigen Trigonalpolyeders (mit dreikantigen Ecken), vielleicht aber auch um das von C. Reinhardt gefundene, ebenfalls einseitige siebenflächige „Heptaeder“.

  14. Modelle von vierdimensionalen Polytopen lassen sich aus offensichtlichen Gründen nicht herstellen, man muss auf Projektionsmodelle zurückgreifen; diese sind dann dreidimensional (Abbildungen hierzu finden sich z. B. im Artikel von Volkert [18]). Analog erhält man das zweidimensionale Projektionsmodell eines dreidimensionalen Polyeders in Form der ebenen Projektion des Körpers, z. B. als „Schlegel-Diagramm“ (nach Victor Schlegel (1843–1905)).

  15. Vgl. [29, S. XII].

  16. Vgl. [13]. Auch hier besteht wieder Verwechslungsgefahr: Beim Blick in den Jahresbericht der Schule entsteht der Eindruck, Brückner wäre ins Musikfach gewechselt, hätte der Musikaliensammlung vorgestanden und den Schulchor geleitet. Hierbei handelt es sich jedoch um seinen Kollegen Johannes (ohne Max) Brückner, der als J. Brückner geführt wurde, während „unser“ Herr Brückner zur eindeutigen Unterscheidung als M. Brückner Erwähnung findet.

  17. Vgl. [20, S. 3]. Auffälligerweise wurden die beiden „Brückners“ aus dem Kollegium des Gymnasiums gemeinsam befördert (vielleicht wollte man mit dieser Maßnahme gewissen Peinlichkeiten und Verwechslungen vorab aus dem Wege gehen; das ist aber rein spekulativ).

  18. Vgl. [20, S. 13]. Im Brücknerschen Sinne handelt es sich dabei nicht um Polyeder.

  19. Hierbei ging es – im Kontext der Darstellenden Geometrie – mutmaßlich um Durchdringungskurven (etwa zweier Zylinder), ggf. auch um „Verbünde“ (engl. „Compounds“) von polyedrischen Objekten (z. B. um bekannte Varianten von zwei, fünf oder zehn Tetraedern, oder auch von je fünf Hexaedern bzw. Oktaedern).

  20. Vgl. [21, S. 19].

  21. Vgl. [22, S. 17].

  22. Neben den bekannten fünf platonischen Körpern fallen hierunter auch die vier sog. „Kepler-Poinsot-Körper“.

  23. Vgl. [23, S. 22].

  24. Behandelt werden, dem Titel entsprechend, nur Polygone und Polyeder; Polytope (allgemein: vier- und höherdimensionale Objekte) sieht Brückner als zu fortgeschritten an und bemerkt, diese bereits in seiner Schrift von 1894 ausreichend behandelt zu haben (vgl. [1, S. IV]).

  25. Die Anordnung der einzelnen Objekte in den Abbildungen ist dabei eher zufällig und wurde lt. Brückner hauptsächlich nach pragmatischen Gesichtspunkten (z. B. aus Platzgründen) vorgenommen (vgl. [1, S. 183, Fn. 2]).

  26. Die Regularität der Flächen bzw. Ecken wird hierbei nicht vorausgesetzt, sondern nur deren Kongruenz bzw. Deckungsgleichheit.

  27. Vgl. [7].

  28. Vgl. [1, S. 183, Fn. 2].

  29. Hierbei werden Polyeder als „nicht-konvex“ bezeichnet, wenn sie, abweichend von der heute üblichen Definition, überstumpfe Flächenwinkel (>180°) besitzen (analog hierzu weisen nicht-konvexe Polygone überstumpfe Innenwinkel auf). „Diskontinuierlich“ bzw. „nicht kontinuierlich“ ist ein Polyeder dann, wenn es nicht möglich ist, von einer beliebigen Grenzfläche aus, durch Überqueren angrenzender Kanten, auf jede andere Grenzfläche zu gelangen. Beispiele hierfür sind die oben erwähnten Durchdringungen (z. B. der Kepler-Stern, lat. „Stella Octangula“).

  30. Vgl. [2, S. 707].

  31. Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. XIII, No. 5.

  32. Verhandl. der königl. Akademie der Wissenschaften zu Amsterdam, Sek. 1, Teil 10, No. 1 (27 S. u. 2 Tf.).

  33. Dieses existierte seit dem Jahr 1900 und war aus dem Mathematisch-Physikalischen Seminar hervorgegangen (vgl. [8, S. 74]).

  34. Mathematics Genealogy Project „Max Brückner“ [11].

  35. Ein kurzes Dankesschreiben von Brückner an das Rektorat ist ebenfalls erhalten geblieben.

  36. Vgl. Abb. 5.

  37. Dies belegt die erhaltene Mitteilung an den engeren Senat der Universität über die Rechnung des Glasers an den Requisitenfond. Zur Präsentation von Modellen vgl. [15].

  38. Vorher war das Mathematische Institut in den oberen Stockwerken des historischen Friedrichsbaus in der Heidelberger Altstadt untergebracht.

  39. Nach einer mündlichen Mitteilung von Prof. D. Puppe, der an diesem Umzug als Assistent beteiligt war, an K. Volkert.

  40. Unterzeichnet ist die Notiz – und dies ist historisch bedeutsam – von Liebmann und Rosenthal. Hierbei handelt es sich um Arthur Rosenthal, Dekan der math.-nw. Fakultät im Jahr 1932/33, und Heinrich Liebmann, einen seiner Vorgänger in dieser Funktion. Beide Mathematiker wurden 1935 durch die Nationalsozialisten aus antisemitischen Gründen aus ihren Ämtern gedrängt (vgl. [17, S. 1052 ff.]).

  41. Vgl. Abb. 7.

  42. Vgl. die Notiz der DMV in Abb. 7.

  43. Vgl. [6, S. 11].

  44. Hierbei handelt es sich – grob gesagt – um Skizzen, die den Aufbau der Polyederoberfläche zeigen (aus welchen Flächen bzw. n‑Ecken sie besteht und wie diese aneinander grenzen, wenn man das Objekt aufschneidet und in die Ebene ausbreitet). Später in seinem Werk gibt Brückner, statt der Zeichnungen, nur noch entsprechende Zahlenkolonnen an.

  45. Vgl. Abb. 7.

  46. Die Darstellungen entsprechen im Vergleich zu obigen, eher skizzenhaften Abbildungen aus den Manuskriptbänden, mehr der Definition eines „Diagramms“ von Brückner aus „Vielecke und Vielflache“ [1, S. 74 Fn. 4]. In moderner Sprache handelt es sich dabei um Schlegel-Diagramme, einfach ausgedrückt also um die ebenen Projektionen eines Polyeders in eine seiner Grenzflächen. Brückner nahm hierfür stets die Fläche mit der größten Eckenzahl.

  47. Diese stammen von Ernst Steinitz (1871–1921), Edmund Hess (1843–1903), Max Simon (1844–1918) und Oswald Hermes (1826–1909), einem engen Berater von Brückner.

  48. Besonders interessant ist in dieser Hinsicht Bd. IIb; hier ist der Wiedererkennungswert am höchsten.

  49. Also solche, für die die Eulersche Polyederformel gilt.

  50. Bei Steinitz heißen diese „Dreikantspolyeder“ (vgl. [6, S. 5]).

  51. Z. B. in den Annales de Mathématiques von Gergonne (Bd. XIX, S. 36) (vgl. [1, S. 78, Fn. 2]).

  52. Vgl. [6].

  53. Die Bände von Brückner befinden sich dort unter der Bezeichnung „Die Polyeder. Ein Tafelwerk“ und der Signatur „Heid. Hs. 964–981“ [33] (vgl. den Nachweis in der Datenbank „Kalliope“: http://kalliope.staatsbibliothek-berlin.de/de/search.html?q=Brückner+Tafelwerk).

  54. Als Nr. 17, chronologisch gesehen, in Senechals „Shaping Space“ [10].

  55. Größere nennenswerte Sammlungen existieren u. a. in Göttingen und München, aber auch z. B. in Marburg. Hier wurde einem mündlichen Bericht zufolge in den 1960er-Jahren ebenfalls eine ansehnliche Sammlung von mathematischen Modellen entsorgt. An gleicher Stelle entstand aber durch Initiative Einzelner ab 2009 eine neue Sammlung, mit tw. alten, erhalten gebliebenen, aber auch neuen Ausstellungsstücken. Eine Übersicht der heutigen mathematischen Universitätssammlungen in Deutschland findet sich unter: http://universitaetssammlungen.de/search/swp/Mathematik.

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  1. AG Didaktik und Geschichte der Mathematik, Bergische Universität Wuppertal, Gaußstraße 20, 42119, Wuppertal, Deutschland

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Etwein, F. Ein Leben für die Polyeder – der Oberlehrer Max Brückner und seine Modelle. Math Semesterber 66, 15–30 (2019). https://doi.org/10.1007/s00591-019-00246-3

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