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Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?

Kongruenz- vs. Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion in der DDR

  • MATHEMATIK IN DER LEHRE
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Mathematische Semesterberichte Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Nach einer recht chaotischen, durch häufige Lehrplanwechsel geprägten Phase nach dem zweiten Weltkrieg wurde in der DDR von den 1960er Jahren an (bis zu ihrem Ende) eine abbildungsgeometrische Fundierung des Geometrieunterrichts angestrebt, die diesen vom vierten Schuljahr an als „Leitlinie“ prägen sollte. Die Umsetzung dieses Paradigmas war über Jahrzehnte eines der zentralen Themen der mathematik- und speziell stoffdidaktischen Diskussion in der DDR. Die Gedanken hinter und die Bemühungen um einen abbildungsgeometrischen Aufbau des Geometrieunterrichts werden hier skizziert, wobei sich ein gewisser Zielkonflikt zwischen einer konsequenten abbildungsgeometrischen Vorgehensweise und dem Ziel, Schülerinnen und Schüler zum Führen exakter Beweise zu befähigen, herauskristallisiert.

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Abb. 1

Notes

  1. Bei Diedonné und anderen Vertretern der „Neuen Mathematik“ wurde die Forderung „Euclid must go!“ darüber hinaus mit einer Unterordnung der Schulgeometrie unter die lineare Algebra verknüpft, wobei hier „Abbildungsgeometrie“ in Gestalt von Transformationsgruppen zum Tragen kommt, siehe z. B. [25], S. 35 f. Zu Diedonné und anderen Vertretern der „Neuen Mathematik“ siehe auch den Beitrag von Volkert in diesem Heft.

  2. Später wurden die enthaltenen Ideen wieder aufgegriffen. So schrieb Fladt 1955, dass das 1881 erschienene „Lehrbuch der Elementargeometrie“ von Henrici und Treutlein „der Zeit weit voraus war“ und „einen Wiederabdruck zu Nutzen aller Geometrielehrer verdiente“ ([33], S. 8).

  3. So wies Prof. Lilly Görke von der Humboldt-Universität zu Berlin bei der Eröffnung einer wissenschaftlichen Konferenz über Fragen der Methodik des Mathematikunterrichts 1955, an der auch Kollegen aus der Bundesrepublik, u. a. Walther Lietzmann, teilnahmen, „auf die Bindungen unserer Fachmethodik an die gesamtdeutsche Tradition hin und erwähnte in diesem Zusammenhang Felix Klein“ ([42], S. 2). Dies ist auch insofern bemerkenswert, als zu dieser Zeit bei der Lehrplanentwicklung in der DDR bereits eine gewisse Orientierung am Schulunterricht in der Sowjetunion zu verzeichnen war, vgl. z. B. [16], S. 138.

  4. Da an Realgymnasien und Oberrealschulen mehr Unterrichtsstunden für das Fach Mathematik vorgesehen waren (siehe [24], S. 65), wurden an diesen Schulformen einige Stoffgebiete ein Schuljahr früher behandelt als an den humanistischen Gymnasien, und in der Prima kamen zusätzliche Inhalte hinzu. Am Realgymnasium betraf dies die Analytische Geometrie der Geraden und des Kreises und eine wesentlich ausführlichere elementargeometrische und analytische Behandlung der Kegelschnitte. Der Lehrplan der Oberrealschule sah zusätzlich eine Betrachtung der Kegelschnitte als perspektive Bilder des Kreises (Sätze von Pascal und Brianchon) sowie einen Ausblick auf die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Punktreihen und Strahlenbüschel vor (siehe [24], S. 69 und 72).

  5. Die Stoffpläne der Preußischen Lehrpläne von 1925 entsprechen teilweise exakt denen der in Abschn. 2 wiedergegebenen Meraner Pläne, siehe [81]). Der wichtigste Unterschied besteht darin, dass die Preußischen Pläne bereits in den unteren Klassen in stärkerem Maße Körpergeometrie einbezogen.

  6. Dazu zählte u. a. Fladt, der dann in den 1950er und 1960erJahren zu den Protagonisten der abbildungsgeometrischen Ausrichtung des Geometrieunterrichts in der Bundesrepublik gehörte, siehe auch [33].

  7. Der Terminus „Mathematikdidaktik“ war in der DDR unüblich, man sprach stattdessen von Mathematikmethodik. Dieser Begriff muss für die DDR jedoch weiter gefasst werden als heute üblich. Obwohl methodischen Fragen ein besonderes Gewicht beigemessen wurde, befassten sich viele DDR-Methodiker(innen) auch mit Fragen, die nicht in engerem Sinne methodischer Natur waren. Stoffdidaktik in engerem Sinne wurde allerdings hauptsächlich am Institut für Schulmathematik der Humboldt-Universität zu Berlin betrieben. Die dort tätigen Wissenschaftler(innen) wurden nicht als Mathematikmethodiker(innen) sondern als Schulmathematiker(innen) bezeichnet. In heutiger Sprechweise würde man sowohl die Mathematikmethodik als auch die Schulmathematik unter Mathematikdidaktik einordnen.

  8. Eine Ausnahme bildeten bezüglich des Fachs Mathematik lediglich die Spezialschulen mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Richtung, die ab dem neunten Schuljahr von einem sehr geringen Anteil der Schülerinnen und Schüler besucht wurden (es gab 15 derartiger Spezialschulen in der DDR).

  9. Bruder bemerkte hierzu rückblickend: „Die langjährige Arbeit an dem Mathematik-Methodik-Handbuch in der DDR Ende der achtziger Jahre mit einem sehr großen Kreis von Mitautoren hat aber auch gezeigt, dass es eigentlich nicht möglich ist, die doch vorhandenen verschiedenen Denkansätze unter den DDR-Methodikern unter einen Hut zu bekommen, es sei denn, man erzwingt einen Minimalkonsens, der dann aber zumindest punktuell deutlich hinter der tatsächlichen Erkenntnisfront zurückliegt.“ ([17], S. 169) Anzumerken ist, dass das erwähnte Buch, bei dem es sich um den Nachfolger von [3] handeln sollte (an dem 32 Autorinnen und Autoren beteiligt waren), nicht mehr erschienen ist.

  10. Speziell in dem Abschn. 7.2 zu abbildungsgeometrischen Beweismethoden wird sich zeigen, dass mitunter auch kontroverse Auffassungen darüber diskutiert wurden, wie sich allgemein anerkannte Ziele erreichen lassen (wobei die Ziele selbst i. Allg. nicht in Frage gestellt wurden).

  11. „Mathematik in der Schule“ erschien seit 1963, Vorläufer waren „Mathematik und Naturwissenschaften in der neuen Schule“ (1949–1951), „Mathematik, Physik und Chemie in der Schule“ (1952–1954) sowie „Mathematik und Physik in der Schule“ (1954–1963).

  12. Die vergleichsweise wenigen mathematikdidaktischen Publikationen und die Zeitschrift „Mathematik in der Schule“ besaßen einen weitaus h"oheren Verbreitungsgrad als Mathematikdidaktik-Bücher und -Zeitschriften in der Bundesrepublik und waren praktisch allen Mathematiklehrkräften der DDR bekannt.

  13. Bis zur Einführung der zehnklassigen polytechnischen Oberschule 1959 erstreckte sich die Schulpflicht in der DDR nur bis zum achten Schuljahr. Die achtjährige Grundschule wurde von allen Schülerinnen und Schülern besucht.

  14. Als Schulbücher dienten geringfügig modifizierte Bücher für Oberrealschulen (Lietzmann/Zühlke: Bardeys Aufgabensammlung für Arithmetik, Algebra und Analysis sowie Aufgabensammlung und Leitfaden der Geometrie) aus den 1920er Jahren, die 1946 vom DDR-Schulbuchverlag Volk und Wissen nachgedruckt wurden, siehe [76], Teil 2, S. 731 ff.

  15. Zu einigen politischen Hintergründen der damaligen Lehrplanreform siehe [16], S. 137 f., [76], Teil 2 und [85], S. 238 f.

  16. Im Lehrplan von 1951 heißt es dazu: „Die Gesetze der Symmetrie werden unter Verwendung von Faltblatt und ebenem Spiegel abgeleitet.“ ([74], S. 214)

  17. „Die Dreieckskonstruktionen stehen im Vordergrund, die Kongruenzsätze ergeben sich erst aus ihnen.“ ([74], S. 215

  18. Der Lehrplan merkt hierzu an: „An dieser Stelle bietet sich die Möglichkeit, das Beweisverfahren der modernen Geometrie an dem konkreten Beispiel der Ableitung der Eulerschen Geraden und des Feuerbachschen Kreises anzuwenden.“

  19. Als Beispiele für „verwickeltere geometrische Gebilde“ nennt der Autor Drei- und Vierecke.

  20. darstgeom1951„In allen Klassen ist auf eine bisher im 9. bzw. 10. Schuljahr beginnende systematische Behandlung der darstellenden Geometrie verzichtet worden. Die unbedingt notwendigen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf diesem Gebiete erwirbt der Schüler bei der Behandlung der „Geometrischen Verwandtschaften“, deren Hauptziel das Herausarbeiten der Prinzipien der modernen Geometrie ist, und der „Körperdarstellung“, die mit der „Körperberechnung“ in Fusion durchgenommen wird.“ ([69], S. 538)

  21. Derart vorsichtige Formulierungen wurden im offiziellen Sprachgebrauch der DDR auch verwendet, um desaströse Fehlentwicklungen oder Misserfolge beschönigend darzustellen.

  22. Trotz dieser Kürzungen wurde weiterhin über Zeitmangel im Mathematikunterricht geklagt, sodass 1956 der Lehrplan durch eine „Direktive für den Mathematikunterricht“ ersetzt wurde und weitere Kürzungen erfolgten (die aber die Geometrie nicht stark betrafen, lediglich im Stoffgebiet Sphärische Trigonometrie wurde die mathematische Himmelskunde gestrichen), siehe [76], Teil 4, S. 16.

  23. Zwei „Zeitzeugen“, die in dem Zeitraum die Oberschule besuchten, konnten sich nicht an Abbildungsgeometrie und den Gruppenbegriff erinnern, was aber (nach über 60 Jahren) nicht sehr aussagekräftig ist.

  24. Erheblicher waren die Änderungen in der Erweiterten Oberschule (Klassen 11 und 12): Die Sphärische Trigonometrie wurde zugunsten der Vektorrechnung vollständig gestrichen.

  25. Deutlich erkennbar ist dies in vielen Beiträgen in der Zeitschrift „Mathematik und Physik in der Schule“ jener Jahre, die Vorschläge enthalten, Bezüge zwischen „sozialistischer Produktion“ und Mathematikunterricht herzustellen.

  26. Um zu verstehen, welch jähe Wendungen Lehrerinnen und Lehrer in den 1950er Jahren vollziehen mussten, vergleiche man dieses Zitat mit Fußnote .

  27. Die Überbetonung von (Pseudo-)Modellierungen im Mathematikunterricht seit der Jahrtausendwende lässt dieses Zitat nach 45 Jahren und unter völlig anderen gesellschaftlichen Rahmenbedingungen erschreckend aktuell erscheinen.

  28. Das Institut für Schulmathematik wurde 1963 an der Humboldt-Universität zu Berlin (HUB) eingerichtet. Es fusionierte 1968 mit dem Institut für Unterrichtsmethodik (das bis dahin der Pädagogischen Fakultät angegliedert war) zum Bereich „Schulmathematik und Methodik des Mathematikunterrichts“ (angegliedert der Sektion Mathematik), aus dem dann 1992 (personell drastisch reduziert) das Lehr- und Forschungsgebiet „Mathematik und ihre Didaktik“ am Institut für Mathematik der HUB hervorging.

  29. Die Kommission wurde Anfang der 1970er Jahre wieder aufgelöst, und ihre Aufgaben übernahm die 1971 konstituierte Forschungsgruppe Mathematik an der APW, siehe [94].

  30. Die Kommission erstellte in den folgenden Jahren Pläne über Forschungsvorhaben auf dem Gebiet des Mathematikunterrichts (siehe [61]), die den mathematikmethodischen Arbeitsgruppen der einzelnen Universitäten und Pädagogischen Hochschulen bzw. Institute klar bestimmte Aufgaben zuwiesen. Mit der Lehrplanentwicklung war hauptsächlich das Institut für Schulmathematik betraut, ebenso mit einem recht großen Teil derjenigen Forschungsvorhaben, die man (in heutigem Sprachgebrauch) der Stoffdidaktik zuordnen kann. Am Aufbau des Geometrielehrgangs der POS arbeiteten außerdem das Pädagogische Institut Erfurt und die Pädagogische Hochschule Potsdam mit.

  31. Dies mag aus heutiger Sicht selbstverständlich erscheinen, doch erschienen in den 1960er und 1970er Jahren u. a. in den USA und in der Sowjetunion eine Reihe von Schulbüchern, die einen vollständigen axiomatischen Aufbau enthielten, auch in Polen wurde zeitweise ab dem 9. Schuljahr ein axiomatischer Aufbau der Geometrie betrieben ([32], S. 19–22). Noch etwas weiter ging man in Frankreich und Belgien, wo für den Geometrieunterricht der Mittelstufe Axiomensysteme entwickelt wurden, die auf Vektorräumen basierten; auch in der Sowjetunion wurde zeitweilig dafür plädiert. Zwar informierte die Zeitschrift „Mathematik in der Schule“ darüber, indem z. B. entsprechende Beiträge von Papy [77] und Boltjanski/Jaglom [12] abgedruckt wurden, explizite Axiomatik im Unterricht wurde aber nicht in Erwägung gezogen. Auch einige ausführliche Beiträge von DDR-Autoren zur Axiomatik der Geometrie (u. a. [14, 15] und [34]), die sich vor allem mit Axiomatisierungen eines abbildungsgeometrischen Aufbaus der Geometrie befassten, betonten zwar die Bedeutung einer „Hintergrundaxiomatik“ des Geometrieunterrichts für den Lehrer, plädierten aber nicht für ein axiomatisches Vorgehen im Unterricht. Frank und Ilgner fassten die Position zur Axiomatik folgendermaßen zusammen: „Vielfältige Untersuchungen ↓ brachten die Überzeugung, daß keine der bekannten Theorien für die euklidische Geometrie eine Möglichkeit bietet, einen dem Entwicklungsstand der Schüler und den Erfordernissen ihrer praktischen Tätigkeit angepaßten genetischen oder streng deduktiven Aufbau des Geometrieunterrichts zu gewährleisten. Möglich ist jedoch eine Orientierung des Geometrieunterrichts an einem Axiomensystem, um ein den ganzen Lehrgang durchziehendes einheitliches Begriffssystem entwickeln und die der Geometrie innewohnenden Potenzen zur Herausbildung von Elementen einer deduktiven Denk- und Arbeitsweise wenigstens von einer gewissen Klassenstufe an (etwa von Klasse 6 an) ausnutzen zu können. Der Geometrieunterricht an unserer Oberschule orientiert sich deshalb an einem Axiomensystem, das aus dem Hilbertschen durch Austausch der Kongruenzaxiome gegen Bewegungsaxiome hervorgeht ↓“ ([3], S. 112)

  32. Die mit + gekennzeichneten Stoffgebiete werden empfohlen, die Stoffgebiete ohne + stellen den Minimalstoff für Gymnasien beliebigen Typs dar.

  33. Diese wurden durch weitere Leitlinien ergänzt, die man in heutiger Terminologie als „prozessbezogene Kompetenzen“ bezeichnen würde:

    – Linien der sprachlich-logischen Schulung (Mathematische Terminologie und Symbolik, Definieren, Beweisen)

    – Verfahren und Mittel rationellen Arbeitens (Algorithmische Verfahren, Heuristische Verfahren, materiell-gegenständliche Arbeitsmittel) ([3], S. 64 ff.)

  34. Dazu heißt es in [92], S. 10: „Nach der Einführung des Mengenbegriffs ↓ wird von diesem wichtigen mathematischen Begriff bei allen geeigneten Gelegenheiten Gebrauch gemacht. Die Schüler müssen lernen, in verschiedensten Bereichen nach gegebener Vorschrift Mengen zu bilden und in diesen Bereichen Mengen zu erkennen sowie Element- und Teilmengenbeziehungen aufzufinden ↓ Es kommt also darauf an, gewisse, durch die mengentheoretische Auffassung geprägte inhaltliche Gesichtspunkte zum Tragen zu bringen – und nicht etwa darauf, Äußerlichkeiten, die Verwendung der Symbolik, formale Übungen im Operieren mit Mengen u. ä. in den Mittelpunkt zu stellen. Der Mengenbegriff, die Element- und die Teilmengenbeziehung sollen genutzt werden um den Schülern die Zusammenhänge zwischen einzelnen Objekten und Gesamtheiten deutlicher werden zu lassen, um ihnen das erforderliche Handwerkszeug für Systematisierungen zur Verfügung zu stellen, um die Unter-, Über- und Nebenordnung von Begriffen verständlich zu machen usw. Noch einmal sei aber betont: Die Mengenlehre darf keinesfalls zum Selbstzweck werden.“

  35. Es wird hier an einigen Stellen aus dem sehr weit verbreiteten Buch „Methodik Mathematikunterricht“ [3] zitiert, das zwar erst 1975 erschien, sich aber vollständig auf die Ende der 1960er/ Anfang der 1970er Jahre in Kraft gesetzten Lehrpläne bezieht. Die Erarbeitung von [3] dauerte recht lange und war bereits 1972 weit vorangeschritten, siehe [94].

  36. Es gelang mir nicht, hierzu Begründungen oder Stellungnahmen zu finden. Es scheint, dass die Leitlinien recht „sang- und klanglos“ aus den Lehrplänen verschwanden.

  37. 1983 schrieben Dennert, Frank und Siury dazu: „Diese Vorstellung wird seit längerem an unserem Bereich [gemeint ist der Bereich Schulmathematik und Methodik des Mathematikunterrichts an der Humboldt-Universität] vertreten, mußte aber aus schulpolitischen Gründen (Unterstufenlehrer unterrichten in Klasse 4 und haben sich auf die Behandlung der Verschiebung in dieser Klasse eingestellt) \(\dots\) in den Hintergrund treten.“ ([22], S. 55)

  38. AbstricheBegriffsapparat1980erAllerdings wurde der Begriffsapparat bei der Behandlung der Bewegungen „abgespeckt“, so traten die Begriffe eindeutig und eineindeutig nicht mehr auf. „Daß betrachtete Abbildungen eindeutig bzw. eineindeutig sind, kann ohne Verwendung der Fachtermini inhaltlich klargemacht werden“ ([22], S. 52). Außerdem wurde die Betrachtung inverser Abbildungen („entgegengesetzter Bewegungen“) aus den Schulbüchern entfernt, diese wurden zudem methodisch stark überarbeitet (siehe [50] im Vergleich zu [13]).

  39. Man vergleiche die obige Aussage mit der Zuordnung des geometrischen Schulstoffes zu der Leitlinie „Abbildungen und Funktionen“ in den Zitaten von 1975 in Abschn. 6.1.

  40. fillerfuenfteklasseNach 40 Jahren (ich besuchte 1974/75 in der DDR die 5. Klasse) kann ich mich noch daran erinnern, dass ich eine Vielzahl von Bilddreiecken konstruieren musste. Ich kann mich allerdings nicht daran erinnern, dass ich darin irgendeinen – über das Einüben sauberen Konstruierens hinausgehenden – tieferen Sinn erkennen konnte. Ebenfalls in Erinnerung ist mir meine Verwunderung, als nach der Behandlung der (aus der Sicht eines Fünftklässlers) „komplizierten“ Drehungen plötzlich die „leichten“ Spiegelungen auszuführen waren.

  41. Bender brachte dies 1982 (u. a. auch auf den hier zitierten Beitrag von Lorenz verweisend) noch schärfer zum Ausdruck: „Bewegungsgeometrie ist nicht die geeignete Propädeutik für Abbildungsgeometrie. Die Ausbildung des geometrischen Abbildungsbegriffs wird durch Bewegungsgeometrie eher verhindert.“ ([8], S. 18)

  42. Es sind eben gerade die ausgeführten Tätigkeiten, die sich einprägen (siehe auch die Fußnote ) und weniger die Ergebnisse, insbesondere wenn diese für Schüler wenig spektakulär sind, wie einander zugeordnete Punkte.

  43. So formulierten Frank und Weber 1982: „Primat sollte bei all diesen Überlegungen u. E. die Position haben, daß, wie der Mathematikunterricht als Ganzes, so auch sein geometrischer Bestandteil eine klare K ö n n e n s o r i e n t i e r u n g erkennen lassen muß.“ ([39], S. 482, Hervorhebung wie im Original)

  44. Von Bittner wurde dies bereits 1975 empfohlen, siehe siehe oben. Dabei besteht natürlich das Problem, dass nur die Bildpunkte einer endlichen Zahl von Punkten erfasst werden, die Elementarbewegungen aber als Abbildungen der gesamten Ebene aufgefasst werden sollen. Der von Bittner in [10] ebenfalls unterbreitete Vorschlag, Deckabbildungen endlicher Punktmengen zu betrachten und durch Permutationen zu beschreiben, fand im Lehrplan und den Schulbüchern keine Berücksichtigung.

  45. Später musste man jedoch feststellen, dass dies kaum Wirkung zeigte, siehe Abschn. 8.

  46. Analog dazu schlugen Sie vor, die Ähnlichkeit über maßstäbliches Vergrößern/ Verkleinern einzuführen.

  47. Im Schulbuch der 6. Klasse von 1988 ([50]) findet sich dazu nichts mehr.

  48. So steht z. B. die Abkürzung \(P \stackrel{Sp(g) \circ Sp(h)}{\longrightarrow} P''\) dafür, dass „der Punkt P bei Nacheinanderausführung der Spiegelungen an den Geraden g und h in den Punkt \(P''\) übergeht (wobei die Reihenfolge der Spiegelungen zu beachten ist)“ ([57], S. 731). König meint allerdings mit \(Sp(g) \circ Sp(h)\), dass Sp(g) zuerst ausgeführt wird.

  49. dnnerstlorenz83abbildungsbeweiseDass man bezüglich abbildungsgeometrischer Beweise nicht nennenswert vorankam (bzw. die unterbreiteten Vorschläge sich als wenig brauchbar erwiesen), verdeutlicht die folgende Äußerung von Dennert und Lorenz bei einem Kolloquium 1983 (siehe [23], S. 105): „Es ist zu prüfen, ob beim Beweisen geometrischer Sätze stärker mit geometrischen Abbildungen gearbeitet werden sollte und welche Abbildungen dafür in Betracht kommen. Dafür ist ein geeignetes (also insbesondere für den Schulunterricht passendes) System von verwendeten Eigenschaften der benutzten Abbildungen zu erarbeiten und ein Fundus an derartig bewiesenen Sätzen zusammenzustellen sowie eine gut geeignete Form der Beweisdarstellung derartiger Beweise zu erarbeiten.“ Realisiert wurde dies allerdings nicht.

  50. 1978 brachte Lorenz erneut seine Skepsis gegenüber abbildungsgeometrischen Beweisen zum Ausdruck ([65]) und kritisierte die Unvollständigkeit des größten Teils der o. g. abbildungsgeometrischen Beweise in dem Schulbuch [13] für das 6. Schuljahr.

  51. Zwar war von Leitlinien in den Lehrplänen der 1980er Jahre nicht mehr explizit die Rede (siehe Abschn. 6.2), die Intentionen sowohl der Leitlinie Abbildungen und Funktionen als auch der Leitlinien der sprachlich-logischen Schulung (insbesondere Beweisen) wurden aber klar erkennbar weiter verfolgt.

  52. Bender schrieb dazu (in Anlehnung an Breidenbach), dass „ein Abbildungsbeweis, im Gegensatz zu einem Kongruenzbeweis beliebig elementarisiert werden [kann], ohne von seiner Substanz zu verlieren“ ([8], S. 20). Mit Substanz ist aber die anschaulich-geometrische Idee gemeint, nicht der Charakter einer logischen Schlusskette.

  53. Diese müssten Begründungen der Existenz der herangezogenen Abbildungen sowie Begründungen von Beweisschritten anhand der Eigenschaften der Abbildungen, die zudem klar fixiert werden müssten (siehe auch Fußnote ), enthalten.

  54. Insbesondere ist hierbei die Gefahr größer, Beweisschritte bzw. deren Begründungen „zu vergessen“. Lorenz schrieb dazu: „Abbildungsgeometrische Beweise sind genauso exakt und wissenschaftlich einwandfrei wie andere. Es besteht jedoch die Gefahr, exakte Beweisführungen durch bloße anschauliche „Beweglichkeitsbetrachtungen“ zu ersetzen und sich statt auf vorher bewiesene bzw. axiomatisch geforderte Eigenschaften von Abbildungen auf anschauliche Vorstellungen von mechanischen Bewegungen zu stützen.“ ([65], S. 616)

  55. Hinsichtlich des Begriffsapparats wurden in den 1980er Jahren sogar Abstriche gemacht, siehe Fußnote 38.

  56. Auch zur Nutzung von Bewegungen und Ähnlichkeitsabbildungen zum Lösen von Konstruktionsaufgaben wurden in den 1970er und 1980er Jahren vereinzelt Vorschläge (siehe z. B. [90] und [21]) unterbreitet, die aber ebenfalls keinen nennenswerten Einfluss erlangten.

  57. Allerdings wurde die Zahl der im Schulbuch geführten Beweise reduziert; einige Beweise wurden durch Aufgaben zum Begründen von Aussagen ersetzt, was in vielen Fällen auf abbildungsgeometrischer Grundlage möglich und – wenn keine vollständige und lückenlose Argumentation gefordert wird – oft einfacher ist als das Führen „euklidischer“ Beweise.

  58. Diese Untersuchungen wurden nicht in der DDR, sondern in der Bundesrepublik, schwerpunktmäßig in Hessen, durchgeführt. Das schränkt aber nicht die Aussagekraft ihrer Ergebnisse für die Beantwortung in der DDR diskutierter Fragen ein, zumal Beckmann neben Gymnasial- auch Realschulklassen einbezog ([7], S. 81) und damit zwar die Schülerklientel der polytechnischen Oberschule der DDR nicht vollständig erfasste, aber ihr doch näher kam, als dies bei einer auf Gymnasien beschränkten Untersuchung der Fall gewesen wäre.

  59. Der Kolloquiumsbeitrag von Weber wurde nur in einem Preprint der Sektion Mathematik der Humboldt-Universität veröffentlicht. In dem 1982 in „Mathematik in der Schule“ erschienenen Beitrag [39] von Frank und Weber finden sich vorsichtigere Formulierungen. Dort wird das „Kennen von Abbildungen der Ebene auf sich (Verschiebungen, Drehungen um einen Punkt, Spiegelungen an einer Geraden; Bewegungen; zentrische Streckungen, Ähnlichkeitsabbildungen) und ihres Zusammenhangs mit den Relationen Kongruenz bzw. Ähnlichkeit von Figuren \(\dots\)“ unter den „feste[n] Bestandteile[n] der Allgemeinbildung eines Zehnklassenabsolventen auf dem Gebiet der Geometrie“ aufgelistet ([39], S. 484).

  60. Diese Aussage verdeutlicht, dass die Grundidee der Leitlinie Abbildungen und Funktionen (siehe Abschn. 6.1) immer noch präsent war. Dass es sich hierbei um eine Illusion handelte, wurde spätestens anhand einer 1990 veröffentlichten Studie von Stoye deutlich. Dieser hatte über einen längeren Zeitraum Schülerinnen und Schüler zum Funktionsbegriff befragt. Auf die Frage „Geben Sie zwei Funktionen an, die Sie aus dem Mathematikunterricht kennen.“ nannte genau ein Schüler (von 449) geometrische Abbildungen ([89], S. 769). „Eine Einbindung geometrischer Abbildungen in den Funktionsbegriff wird de facto nicht vollzogen“ ([89], S. 776). Auch wenn die Wortwahl erheblich dazu beigetragen haben dürfte, dass bevorzugt Beispiele genannt wurden, die im Unterricht explizit als „Funktionen“ (und nicht als „Abbildungen“) bezeichnet worden waren, spricht das Ergebnis deutlich dafür, dass die strukturelle Gemeinsamkeit reellwertiger Funktionen und geometrischer Abbildungen nicht inhaltlich erfasst wurde.

  61. Aussagekräftige empirische Befunde lagen nicht vor, entsprechende Untersuchungen waren aber geplant. So berichtete Birnbaum 1987 auf dem oben erwähnten Kolloquium über von der APW in Angriff genommene „Bewährungsanalysen“ zur Wirksamkeit des Mathematikunterrichts, die sich u. a. mit der Frage „nach der Nutzung des Wissens und Könnens der Schüler hinsichtlich geometrischer Bewegungen und ihrer Eigenschaften im Mathematikunterricht ab Klasse 7“ befassen sollten. Er äußerte sich aber nicht zu Zwischenergebnissen, sondern merkte an: „Insgesamt gesehen, lassen die bisher vorliegenden Bewährungsanalysen keine fundierte Einschätzung zu, wie der Geometrieunterricht seine Hauptfunktion \(\dots\) realisiert.“ ([9], S. 129) Ob die APW bis zu ihrer Auflösung 1991 diesbezüglich noch zu Ergebnissen gelangte, ist mir nicht bekannt – wenn ja, dann scheinen diese nicht veröffentlicht worden zu sein.

  62. Elstermann benutzte den Begriff Zuordnungen bzw. speziell Kongruenzzuordnungen (in Anlehnung an Struve) für Zuordnungen von Figuren. Als Definitions- und Wertebereich werden also nur Figuren (und nicht die gesamte Ebene bzw. der gesamte Raum) aufgefasst, wobei Figuren nicht vorrangig als Punktmengen, sondern als „(Eck-)punkt- und Streckenmengen“ betrachtet werden ([29], S. 24).

  63. Diese Einschätzung deckt sich mit meinen Erinnerungen an meine eigene Schulzeit in der DDR, siehe Fußnote 40.

  64. Dies betrifft nicht nur die DDR und die BRD. So stellte sich bei einem Seminar von Mathematikmethodikern sozialistischer Länder 1989 in Polen Übereinstimmung zwischen den Teilnehmern der UdSSR, Polens und der ČSSR (Tschechien und Slowakei) bezüglich einer Zurücknahme des abbildungsgeometrischen Aufbaus des Geometrielehrgangs heraus (siehe [29], S. 47).

  65. Es sei hierzu angemerkt, dass die bekannten mathematikdidaktischen Zeitschriften der Bundesrepublik z. B. in der Bibliothek der Humboldt-Universität zur Verfügung standen und u. a. Bender, der sich intensiv mit Geometriedidaktik befasst, in den 1980er Jahren hier vortrug. Natürlich kannte Elstermann während der Arbeit an seiner Dissertation auch die Arbeit von Beckmann (und zitierte daraus) – gelangte aber auf einem ganz anderen methodologischen Wege zu Ergebnissen, die sich weitgehend mit denen von Beckmann decken.

  66. Ich schreibe dies 50 Jahre nach der grundlegenden Ausarbeitung der Konzeption, die den Geometrieunterricht in den 1970–1980er Jahren prägte, und möchte damit nicht die auf der Grundlage des damaligen Erkenntnisstandes getroffenen Entscheidungen kritisieren. Die heutige Einschätzung beruht auf vielfältigen Erfahrungen, die in Jahrzehnten gesammelt und Diskussionen, die in dieser Zeit geführt (und in knappen Auszügen in diesem Beitrag wiedergegeben) wurden.

Literatur

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  1. Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin, Berlin, Deutschland

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Filler, A. Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?. Math Semesterber 63, 93–134 (2016). https://doi.org/10.1007/s00591-016-0158-z

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