Zusammenfassung
Ist (a,b,c) eine nicht-triviale reelle Lösung des Gleichungssystems
a+b+c=1, a 2+b 2+c 2=1 (1)
so genügt eine stetige Funktion f : R→R genau dann der Funktionalgleichung
f (x) + f (y) + f (z) = f (ax + by + cz) + f (bx + cy + az) + f (cx + ay + bz) (2)
wenn f ein quadratisches Polynom ist. Das Gleichungssystem (1) besitzt unendlich viele nicht-triviale rationale Lösungen. Diese werden in Abschn. 2 bestimmt und in Abschn. 4 mit Hilfe eines entsprechenden diophantischen Problems ausführlich diskutiert. – Es scheint offen zu sein, ob die oben genannte Charakterisierung quadratischer Polynome die Möglichkeit zu einer rein geometrischen (koordinatenfreien) Charakterisierung der Parabeln eröffnet.
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Literatur
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Elstrodt, J. Eine Charakterisierung quadratischer Polynome durch Funktionalgleichungen und ein diophantisches Problem . Math. Semesterber. 56, 153–176 (2009). https://doi.org/10.1007/s00591-009-0060-z
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