Zusammenfassung
Die Geschichte der Diskussion des Integrales \(\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}xdx\) zeigt nicht nur die Entwicklung verschiedener analytischer Techniken sondern auch Aspekte des Übergangs von einer vorrangig kalkül- hin zu einer begriffsorientierten Analysis auf.
References
Abel, N.H.: Recherches sur la série \(1 +\frac{m}{1}x +\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot2\cdot3}x^3 +\cdots\). J. Reine Angew. Math. 1, 219–250 (1826). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes, T. 1, 219–250, Grøndahl, Kristiania, 1881
Bonnet, O.: Remarques sur quelques intégrales définies. J. Math. Pure Appl. 14(1), 249–256 (1849)
Bottazzini, U.: The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Springer, New York, 1986
Bottazzini, U.: Die Theorie der komplexen Funktionen, 1780–1900. In: Geschichte der Analysis, H.N. Jahnke (Hrsg.), S. 267–328. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Berlin, 1999
Burckhardt, H.: Trigonometrische Reihen und Integrale (bis etwa 1850). In: Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften II, 1, 2, H. Burckhardt, R. Fricke & W. Wirtinger (Hrsg.), Artikel IIA12 (1914). Teubner, Leipzig, 1904–1916
Cauchy, A.L.: Seconde note sur les fonctions réciproques. Bull. Soc. Philomatique, 121–124 (1818). Wiederabgedruckt in OEuvres complètes 2(2), 228–232, Gauthier-Villars, Paris, 1958
Cauchy, A.L.: Cours d’ Analyse de l’École Polytechnique. Première Partie. De Bure, Paris, 1821. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes 3(2), Gauthier-Villars, Paris, 1885
Cauchy, A.L.: Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal. Courcier, Paris, 1823. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes 4(2), Gauthier-Villars, Paris, 1899
Cauchy, A.L.: Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. De Bure, Paris, 1825. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes 15(2), 41–89, Gauthier-Villars, Paris, 1974
Cauchy, A.L.: Sur diverses relations qui existent entre les résidus des fonctions et les intégrales définies. Exercices de mathématiques 1, 95–113 (1826). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes 6(2), 124–145, Gauthier-Villars, Paris, 1887
Carslaw, H.S.: Introduction to the Theory of Fourier’s Series and Integrals. Macmillan, London, 1906
Courant, R.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1, 2. Aufl. Springer, Berlin, 1930
De la Vallée-Poussin, Ch.-J.: Étude des intégrales à limites infinies pour lesquelles la fonction sous le signe est continue. Ann. Soc. Sci. Bruxelles 16, 150–160 (1891)
De la Vallée-Poussin, Ch.-J.: Recherches sur la convergence des intégrales définies. J. Math. Pure Appl. 8(4), 421–467 (1892)
De la Vallée-Poussin, Ch.-J.: Cours d’ analyse infinitésimale, T. II. Librairie Universitaire, Louvain, 1906
Dini, U.: Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali. Nistri, Pisa, 1878
Dini, U.: Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variablile reale. Nistri, Pisa, 1880
Dirichlet, P.G.L.: Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données. J. Reine Angew. Math. 4, 157–169 (1829). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 117–132
Dirichlet, P.G.L.: Ueber die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen. In: Repertorium der Physik, Bd. I, S. 252–174, Veit, Berlin, 1837a. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 133–160
Dirichlet, P.G.L.: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 45–81 (1837b). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 313–342
Dirichlet, P.G.L.: Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples. C. R. hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences 8, 156–160 (1839a). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 375–380
Dirichlet, P.G.L.: Ueber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale. Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 18–25 (1839b). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 381–390
Dirichlet, P.G.L.: Ueber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale. Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 61–79 (1839c). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Dirichlet 1889, 391–410
Dirichlet, P.G.L.: Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacobi. Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1–27 (1852). 1852. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabddruck in Dirichlet 1897, 225–252
Dirichlet, P.G.L.: Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, G. Arendt (Hrsg.). Vieweg, Braunschweig, 1854/1904
Dirichlet, P.G.L.: Werke, Bd. I, L. Kronecker, L. Fuchs (Hrsg.). Georg Reimer, Berlin, 1889
Dirichlet, P.G. L.: Werke, Bd. II, L. Kronecker, L. Fuchs (Hrsg.). Georg Reimer, Berlin, 1897
Euler, L.: Introductio in analysin infinitorum, tomus I. Lausanne, 1748. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Opera omnia 8(1), A. Krazer, F. Rudio (Hrsg.), Teubner, Leipzig Berlin, 1922
Euler, L.: De valoribus integralium a termino variabilis x=0 usque ad x=∞ extensorum. Institutiones calculi integralis 4, 337–345 (1794). Academia imperialis scientiarum, St. Petersburg. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in Opera omnia 19(1), F. Rudio (Hrsg.), Teubner, Leipzig Berlin, 1932
Fischer, H.: Die verschiedenen Formen und Funktionen des zentralen Grenzwertsatzes in der Entwicklung von der klassischen zur modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Shaker, Aachen, 2000
Fischer, H.: Wer war’s? Mitteilungen der DMV, H.1, 56 (2001)
Fourier, J.: Théorie analytique de la chaleur. Paris, 1822
Frullani, G.: Sopra gli integrali definiti. Memorie di matematica e di science fisiche e naturali della Società Italiana delle Science 20, 448–467 (1828/31)
Grattan-Guinness, I.: Convolutions in French Mathematics, 1800–1840. 3 Bände, durchgehende Paginierung. Birkhäuser, Boston Basel Berlin, 1990
Hardy, G.H.: A Course of Pure Mathematics. University Press, Cambridge, 1908
Hardy, G.H.: The Integral \(\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx\). The Mathematical Gazette 5, 98–103 (1909)
Harnack, A.: Elemente der Differential- und Integralrechnung. Teubner, Leipzig, 1881
Jahnke, H.N.: Die algebraische Analysis des 18. Jahrhunderts. In: Geschichte der Analysis, H.N. Jahnke (Hrsg.), S. 131–170. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Berlin, 1999
Lampe, E.: Referat über Hardy 1909. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 39, JFM 39.0340.01 (1909)
Laplace, P.S.: Mémoire sur divers points d’analyse. Journal de l’École Polytechnique, 15e cahier, tome 8 (1809). Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes de Laplace XIV, 178–214, Gauthier-Villars, Paris, 1912
Laplace, P.S.: Mémoire sur les intégrales définies et leur applications aux probabilités, et specialement à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations. Mémoires de l’Académie des Sciences 11, I re Partie, 279–347 (1811) Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck in OEuvres complètes de Laplace XII, 357–412. Gauthier-Villars, Paris, 1898
Laplace, P.S.: Théorie analytique des probabilités. 1812/20/86. Alle Seitenangaben gemäß Wiederabdruck der 3. Aufl. (1820) in OEuvres complètes de Laplace VII, Gauthier-Villars, Paris, 1886
Laugwitz, D.: Zahlen und Kontinuum. Bibliographisches Institut, Mannheim, 1986
Laugwitz, D.: Definite Values of Infinite Sums: Aspects of the Foundations of Infinitesimal Analysis around 1820. Archive for History of Exact Sciences 39, 195–245 (1989)
Lützen, J.: Grundlagen der Analysis im 19. Jahrhundert. In: Geschichte der Analysis, H.N. Jahnke (Hrsg.), S. 191–244. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Berlin, 1999
Osgood, W.F.: Problems in Infinite Series and Definite Integrals; with a Statement of Certain Sufficient Conditions which are Fundamental in the Theory of Definite Integrals. Ann. Math. 3(2), 129–146 (1902)
Poisson, S.D.: Mémoire sur les intégrales définies. Journal de l’École Polytechnique, cah. 16, 215–246 (1813)
Smithies, F.: Cauchy and the Creation of Complex Function Theory. University Press, Cambridge, 1997
Spalt, D.: Vom Mythos der mathematischen Vernunft. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1981
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01A55 , 01A60 , 26-03 , 28-03 , 42-03
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Fischer, H. Die Geschichte des Integrals \(\mathop{\pmb{\int}}_{\boldsymbol{0}}^{\boldsymbol{\infty}}\frac{\boldsymbol{\sin} x}{x}dx\) . Math. Semesterber. 54, 13–30 (2007). https://doi.org/10.1007/s00591-007-0016-0
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