La notion d’involution dans le Brouillon Project de Girard Desargues

Résumé

Nous tentons dans cet article de proposer une thèse cohérente concernant la formation de la notion d’involution dans le Brouillon Project de Desargues. Pour cela, nous donnons une analyse détaillée des dix premières pages dudit Brouillon, comprenant les développements de cas particuliers qui aident à comprendre l’intention de Desargues. Nous mettons cette analyse en regard de la lecture qu’en fait Jean de Beaugrand et que l’on trouve dans les Advis Charitables.

Abstract

In this article, we propose a coherent thesis for the formation of the notion of involution in Girard Desargues’ Brouillon Project. For this, we give a detailed analysis of the first 10 pages of the Brouillon, dealing in particular with various particular cases which help us to understand Desargues’ intention, which is to find a notion unifying the harmonic divisions considered in Apollonius’s theory of conics. We compare this analysis with the way Jean de Beaugrand read and criticised the Brouillon in his Advis Charitables.

Appendice: Les résultats euclidiens utilisés par Desargues pour son étude de l’involution

Dans les démonstrations de ses résultats fondamentaux sur l’involution, à savoir l’équivalence entre les notions d’arbre et d’involution (voir. le paragraphe 2.3) et le théorème de la Ramée énonçant l’invariance par projection centrale, Desargues utilise un langage et des méthodes strictement euclidiens. Il va employer sans jamais les nommer, car ils font partie du bagage commun à tout lecteur potentiel du Brouillon, quelques résultats de bases sur les proportions que nous rappelons ici pour la commodité du lecteur.

En revanche, à la fin de la page 2, il donne une liste explicite de propositions tirées des Éléments d’Euclide, qui curieusement, ne seront nullement utilisées dans les dix premières pages. Donnons-en la citation complète:«Proposition comprenant les 5 & 6 du second des Elemens d’Euclides. Proposition comprenant les 9 & 10 du 2 des Elemens d’Euclides. Proposition comprenant les 35 & 36 du 3 des Elemens d’Euclides ». Desargues précise dans ses notes correctives qu’il s’agit de ces propositions et de leur converse, c’est-à-dire leur réciproque. Il va en fait les rappeler à la page 26 du Brouillon pour en faire usage dans son étude des propriétés des asymptotes de l’hyperbole. Nous les rappellerons cependant, afin de donner un exposé complet. Il cite enfin¹⁰³ une proposition, «énoncée autrement en Ptolomée¹⁰⁴ »qui n’est autre que le théorème aujourd’hui connu sous le nom de théorème de Ménélaüs et dont il donne une preuve un peu plus loin. Nous laisserons de côté cette dernière proposition, qui ne trouve son usage que lorsque Desargues s’attaque à la géométrie plane proprement dite, lors de la démonstration du théorème de la Ramée énonçant l’invariance de la configuration d’involution par projection centrale.

Il est difficile de savoir à quelle source Desargues se réfère concernant les résultats euclidiens, et nous nous sommes basés sur l’édition française des Éléments parue en 1621, due à Didier (ou Denis) Henrion (voir Henrion 1621). Comme à son habitude, il évite la terminologie latine ou d’origine grecque et utilise à la place un vocabulaire français. On trouve souvent à la fin d’un argument concernant des proportions une conclusion comme «& alternement, composant, divisant, & le reste ». Cela signifie qu’en utilisant les propositions classiques d’Euclide concernant les proportions, souvent cités sous leur nom latin de invertendo, componendo ou dividendo, on peut déduire un certain nombre de résultats qu’il pourra utiliser par la suite.

Alternando.  Étant donnée la proportion $a/b=c/d$, alors $a/c=b/d$.

Componendo.  Étant donnée la proportion $a/b=c/d$, alors $(a+b)/b=(c+d)/d$.

Dividendo.  Étant donnée la proportion $a/b=c/d$, alors $(a-b)/b=(c-d)/d$.

Invertendo.  Étant donnée la proportion $a/b=c/d$, alors $b/a=d/c$.

Convertendo.  Étant donnée la proportion $a/b=c/d$, alors $a/(a-b)=c/(c-d)$.

Terminons cette courte liste par un résultat que Desargues utilise souvent, qui est la proposition 12 du livre 5 des Éléments, que l’on peut énoncer ainsi: si

$$\begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \end{aligned}$$

alors

$$\begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}, \end{aligned}$$

ainsi que la proportion qui s’en déduit par soustraction, et alternement, composant, divisant, & le reste.