Abstract
Two letters from William Burnside have recently been found in the Nachlass of Robert Fricke that contain instances of the Burnside Problem prior to its first publication. We present these letters as a whole to the public for the first time. We draw a picture of these two mathematicians and describe their activities leading to their correspondence. We thus gain an insight into their respective motivations, reactions, and attitudes, which may sharpen the current understanding of professional and social interactions of the mathematical community at the turn of the twentieth century.
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References
Burnside, W.: On Functions determined from their Discontinuities, and a certain form of Boundary Condition. Proc. London Math. Soc. 22, 346–358 (1891). In Collected Papers, Vol. 1[35], pp. 217–229.
Burnside, W.: On a Class of Automorphic Functions. Proc. London Math. Soc. 23, 49–88 (1892). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 249–288.
Burnside, W.: Further Note on Automorphic Functions. Proc. London Math. Soc. 23, 281–295 (1892). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 321–335.
Burnside, W.: Note on the Theory of Groups. Messenger Math. 23, 50–56 (1893). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 389–395.
Burnside, W.: Note on the simple group of order 504. Math. Ann. 52, 174–176 (1899). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 731–733.
Burnside, W.: On a Class of Groups of Finite Order. Trans. Cambridge Phil. Soc. 18, 269–276 (1900). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 781–788.
Burnside, W.: On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. Quart. J. Pure and Applied Math. 33, 230–238 (1902). In Collected Papers, Vol. 2 [36], pp. 923–932.
Burnside, W.: Theory of Groups. Encyclopaedia Britannica, 10th Edition, \rm Vol. 29, 119–143 (1902). In Collected Papers, Vol. 2 [36], pp. 959–1037.
Burnside, W.: On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions. Proc. London Math. Soc. 3, 435–440 (1905). In Collected Papers, Vol. 2 [36], pp. 1143–1148.
Burnside, W.: On the theory of groups of finite order (Presidential Address). Proc. London Math. Soc. (2) 7, 1–7 (1909). In Collected Papers, Vol. 2 [36], pp. 1235–1241.
Burnside, W.: Theory of Groups. Encyclopaedia Britannica, 11th Edition, Vol. 12, 626–636 (1910). In Collected Papers, Vol. 2 [36], pp. 1283–1318.
Burnside, W.: Theory of groups of finite order, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge (1911). Reprint: Dover Publications, New York, 1955.
Dyck W. (1882) Gruppentheoretische Studien. Math. Ann. 20, 1–44
Forsyth, A.R.: William Burnside. J. London Math. Soc. 3, 64–80 (1928). In Collected Papers, Vol. 1 [35], pp. 71–87.
Fricke R. (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen. Math. Ann. 41, 443–468
Fricke R.(1899). Ueber eine einfache Gruppe von 504 Operationen. Math. Ann. 52, 321–339
Fricke, R.: Die automorphen Elementarformen. Gött. Nachr. pp. 303–313 (1900).
Fricke, R.: Die Ritter’sche Primform auf einer beliebigen Riemann’schen Fläche. Gött. Nachr. pp. 314–321 (1900).
Fricke R.(1900). Zur Theorie der Poincaré’schen Reihen. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 9, 78–80
Fricke, R.: Über die Poincaré’schen Reihen der (−1){\scriptsize ten Dimension. In: Festschrift zur Feier des siebzigsten Geburtstages von Richard Dedekind, pp. 1–36. Vieweg-Verlag, Braunschweig (1901).
Fricke, R.: Lehrbuch der Algebra – verfaß t mit Benutzung von Heinrich Webers gleichnamigem Buche. Erster Band: Allgemeine Theorie der algebraischen Gleichungen. Vieweg Verlag, Braunschweig (1924).
Fricke, R., Klein, F.: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band. Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner Verlag, Leipzig (1897).
Fricke, R., Klein, F.: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band. Die functionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. Teubner Verlag, Leipzig (1901, 1911, 1912).
Fricke, R., Vermeil, H. (eds.): Felix Klein. Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Zweiter Band: Anschauliche Geometrie. Substitutionsgruppen und Gleichungstheorie. Zur mathematischen Physik. Springer Verlag, Berlin (1922).
Fricke, R., Vermeil, H., Bessel-Hagen, E. (eds.): Felix Klein. Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Dritter Band: Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen, hyperelliptische und abelsche Funktionen, Riemannsche Funktionentheorie und automorphe Funktionen. Springer Verlag, Berlin (1923).
Gerke K. (1985) Dr. phil. Robert Fricke. Ordinarius an der Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig 1894-1930. Ein exemplarisches Universitätsleben im Dienste der höheren Mathematik. Mitteilungen der Technischen Universität Braunschweig 20(1): 7–14
Hilton H. (1908). An Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Clarendon Press, Oxford
Klein F.(1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Teubner-Verlag, Leipzig
Klein F., Fricke R.(1890). Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Erster Band. Grundlegung der Theorie. Teubner Verlag, Leipzig
Klein F., Fricke R.(1892). Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Zweiter Band. Fortbildung und Anwendung der Theorie. Teubner Verlag, Leipzig
Lam T.Y. (1998). Representations of finite groups: a hundred years. II. Notices Amer. Math. Soc. 45(4): 465–474
Levi F., van der Waerden B.L. (1932). Über eine besondere Klasse von Gruppen. Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 9, 154–158
Neumann B.H.(1937). Groups whose elements have bounded orders. J. London Math. Soc. 12, 195–198
Neumann, P.M.: The context of Burnside’s contributions to group theory. In: Neumann et al. [35], pp. 15–37.
Neumann P.M., Mann A.J.S., Tompson J.C. (eds) (2004). The Collected Papers of William Burnside. Volume1: Commentary on Burnside’s life and work; Papers 1883–1899. Oxford University Press, Oxford
Neumann P.M., Mann A.J.S., Tompson J.C. (eds) (2004). The Collected Papers of William Burnside. Volume 2: 1900–1926. Oxford University Press, Oxford
Newman, M.F.: A still unsettled question. In: Neumann et al. [35], pp. 39–53.
O’Connor, J.J., Robertson, E.F.: William Burnside, 1852–1927. http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Burnside.html (2005). Viewed 7 November, 2007.
Poincaré H. (1882). Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. Acta Math. 1, 193–294
Poincaré H.(1883). Mémoire sur les Groupes Kleinéens. Acta Math. 3, 49–92
Ritter E. (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré’schen Sätze. Math. Ann. 41, 1–82
Rowe D.E.(1984). The Old Guard Under the New Order: Kurt Friedrichs on His Meeting with Felix Klein. Math. Intell. 6, 74–76
Schottky F. (1887). Ueber eine specielle Function, welche bei einer bestimmten linearen Transformation ihres Arguments unverändert bleibt. J. Reine Angew. Math. 101, 227–272
Weber, H.: Lehrbuch der Algebra. Vieweg Verlag, Braunschweig (First edition (2 vols), 1895, 1896).
Whittaker E.T. (1898). On the Connexion of Algebraic Functions with Automorphic Functions. Proc. R. Soc. London 63, 267–268
Whittaker E.T.(1899). On the Connexion of Algebraic Functions with Automorphic Functions. Philos. Trans. R. Soc. London, A 192, 1–32
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Dedicated to Heiko Harborth on the occasion of his seventieth birthday.
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Adelmann, C., Gerbracht, E.H.A. Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic functions, and the emergence of the Burnside Problem. Arch. Hist. Exact Sci. 63, 33–50 (2009). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0021-2
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