The N-dimensional matching polynomial

Abstract.

Heilmann et Lieb ont introduit le polynôme de couplage μ(G, x) d’un graphe G = (V, E). Nous prolongeons leur définition en munissant chaque sommet de G d’une forme linéaire N-dimensionnelle (ou bien d’un vecteur) et chaque arête d’une forme symétrique bilinéaire. On attache donc à tout r-couplage de G le produit des formes linéaires des sommets qui ne sont pas saturés par le couplage, multiplié par le produit des poids des r arêtes du couplage, où le poids d’une arête est la valeur de sa forme évaluée sur les deux vecteurs de ses extrémités. En multipliant par (−1)^r et en sommant sur tous les couplages, nous obtenons notre polynôme de couplage N-dimensionnel. Si N = 1, le théorème principal de l’article de Heilmann et Lieb affirme que tous les zéros de μ(G, x) sont réels. Si N = 2, cependant, nous avons trouvé des graphes exceptionnels où il n’y a aucun zéro réel, même si chaque arête est munie du produit scalaire canonique. Toutefois, la théorie de la dualité développée dans [La1] reste valable en N dimensions. Elle donne notamment une nouvelle interprétation à la transformation de Bargmann–Segal, aux diagrammes de Feynman et aux produits de Wick.

Heilmann and Lieb have introduced the matching polynomial μ(G, x) of a graph G = (V, E). We extend their definition by associating to every vertex of G an N-dimensional linear form (or a vector) and to every edge a symmetric bilinear form. For every r-matching of G we define its weight as the product of the linear forms of the vertices not covered by the matching, multiplied by the product of the weights of the r edges of the matching, where the weight of an edge is the value of its form evaluated at the two vectors of its end points. Multiplying by (−1)^r and summing over all matchings, we get our N-dimensional matching polynomial. If N = 1, the Heilmann–Lieb theorem affirms that all zeroes of μ(G, x) are real. If N = 2, however, there are exceptional graphs without any real zero at all, even if the canonical scalar product is associated to every edge. Nevertheless, the duality theory developed in [La1] remains valid in N dimensions. In particular, it brings new light to the Bargmann–Segal transform, to the Feynman diagrams, and to the Wick products.