Skip to main content
SpringerLink
Log in

Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV

  • Published:
Transformation Groups Aims and scope Submit manuscript

Abstract

Some arithmetic quotients of symmetric domains of type IV can be interpreted as moduli varieties of multipolarized K3 surfaces. Making use of this interpretation, we prove that, for n = 3, 4, 5, 6, 7, some natural algebras of automorphic forms on the n-dimensional symmetric domains of type IV are free, and we find the degrees of their generators. This implies that the corresponding arithmetic groups are generated by complex reflections.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. I, Наука, М., 1982. Engl. transl.: V. I. Arnol’d, S. M. Gusein-Zade, A. N. Varchenko, Singularities of Differentiable Maps, Vol. I, Monographs in Mathematics, Vol. 82, Birkhäuser, Boston, MA, 1985.

  2. W. L. Baily, A. Borel, Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. of Math. 84 (1966), 442–528.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  3. J. Dieudonné, La Géométrie des Groupe Classiques (3ème édition), Springer-Verlag, Berlin, 1971. Russ. transl.: Ж. Дъëдонне, Геометрия классических групп, Мир, М., 1974.

  4. I. V. Dolgachev, Reflection groups in algebraic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (2007), 1–60.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  5. H. Grauert, R. Remmert, Komplex Räume, Math. Ann. 136 (1958), 245–318.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  6. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 52, Springer-Verlag, New York, 1977. Russian transl.: Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981.

    MATH  Google Scholar 

  7. J.-i. Igusa, On Siegel modular forms of genus two, Amer. J. Math. 84 (1962), 175–200.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  8. Вик. С. Куликов, П. В. Курчанов, Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структура Ходжа, Итоги науки и техн., Соврем. пробл. матем., фундам. направл., т. 36, Алгебраическая геометрия–3, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 5–231, 274–278. Engl. transl.: Vik. S. Kulikov, P. F. Kurchanov, Complex algebraic varieties: periods of integrals and Hodge structures, in: Algebraic Geometry, III, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 36, Springer, Berlin, 1998, pp. 1–217, 263–270.

  9. E. Looijenga, Compactifications defined by arrangements II: Locally symmetric varieties of type IV, Duke Math. J. 119 (2003), 527–588.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  10. D. Mumford, Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Neue Folge, Bd. 34, Springer-Verlag, Berlin, 1965. Russian transl. of Chaps. 0–4 in: Ж. Дьёдонне, Дж. Керрол, Д. Мамфорд, Геометрическая теория инвариантов, Мир, В., 1974, стр. 125–256.

    MATH  Google Scholar 

  11. В. В. Никулин, Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения, Изв. АН СССР, сер. мат. 43 (1979), 111–177. Engl. transl.: V. V. Nikulin, Integral symmetric bilinear forms and some of their geometric applications, Math. USSR, Izv. 14 (1980), 103–167.

  12. И. И. Пятецкий-Шапиро, И. Р. Шафаревич, Теотема Торелли для алгебраических поверхностей типа K3, Изв, АН СССР, сер. мат. 35 (1971), 530–572. Engl. transl.: I. I. Piatetski-Shapiro, I. R. Shafarevich, A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3, Math. USSR, Izv. 5 (1971), 547–587.

  13. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., Соврем. пробл. матем., фундам. направл., т. 55, Алгебраическая геометрия–4, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 137–314. Engl. transl.: V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariant Theory, in: Algebraic Geometry, IV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 55, Springer-Verlag, Berlin, 1994, pp. 123–284.

  14. B. Saint-Donat, Projective models of K3 surfaces, Am. J. Math. 96 (1974), 602–639.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  15. I. Satake, On compactifications of the quotient spaces for arithmetically defined discontinuous groups, Ann. of Math. 72 (1960), 555–580.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  16. J.-P. Serre, Cours d’Arithmétique (4ème édition), PUF, Paris, 1995.

    Google Scholar 

  17. J. Shah, Degenerations of K3 surfaces of degree 4, Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1981), 271–308.

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  18. О. В. Шварцман, О коциклах групп комплексных отражениц и сильной односвязности фактор-просиранств, в. сб.: Вопросы теорпп групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1991, стр. 32–39. (O. V. Shvartsman, On cocycles of complex reection groups and on strong simply connectedness of factor spaces, (Russian), in: Questions of Group Theory and Homological Algebra, Collection of scientific works, Yaroslavl’, 1991, pp. 32–39, [Zbl 0826.57019].)

  19. Э. Б. Винберг, О группах единиц некоторых квадратичных форм, Мат. сб. 87 (129) (1972), 18–36. Engl. tranls.: E. B. Vinberg, On the unit groups of some quadratic forms, Math. USSR, Sbornik 16 (1972), 17–35.

  20. Э. Б. Винберг, Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах, фунц. анал. и его прил. 6 (1972), no. 2, 24–31. Engl. transl.: E. B. Vinberg, On unimodular integral quadratic forms, Funct. Anal. Appl. 6 (1972), 105–111.

  21. E. B. Vinberg, The two most algebraic K3 surfaces, Math. Ann. 265 (1985), 1–21.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  22. Э. Б. Винберг, Об автоморфных формах на симметрических областях типа IV, (Russian), УМН 65 (2010), no. 3, 193–194. Engl. transl.: E. B. Vinberg, On automorphic forms on symmetric domains of type IV, Russian Math. Surveys 65, (2010).

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Department of Mechanics and Mathematics, Moscow State University, Moscow, 119992, GSP–2, Russia

    E. B. Vinberg

Authors
  1. E. B. Vinberg
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to E. B. Vinberg.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Vinberg, E.B. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups 15, 701–741 (2010). https://doi.org/10.1007/s00031-010-9107-4

Download citation

  • Received:

  • Accepted:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00031-010-9107-4

Key words

AMS classiffication

Search

Navigation