Sur la cohomologie à support des fibrés en droites sur les variétés symétriques complètes

Abstract

Let X be a complete symmetric variety, i.e., the wonderful compactification of a symmetric G-homogeneous space (where G is a simply connected semi-simple linear algebraic group). If L is a line bundle over X and if C is a Bialynicki-Birula cell of codimension c in X, then the Lie algebra $\mathfrak{g}$ of G operates naturally on the cohomology group with support H _C ^c (L). A necessary condition on C for the existence of a finite-dimensional simple subquotient of this $\mathfrak{g}$-module is given. As applications one calculates the Euler–Poincaré characteristic of L over X, estimates the higher cohomology group H ^d(X, L), d ≥ 0, and obtains the exact formulas in some cases including that of the complete conic variety.

Résumé

Étant donné un groupe algébrique linéaire semi-simple G, on s’intéresse aux compactifications magnifiques des G-espaces homogènes symétriques. Si X est une telle compactification, si L est un fibré en droites G-linéarisé sur X et si C est une cellule de Bialynicki-Birula de X de codimension c, alors l’algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ de G opère naturellement sur le groupe de cohomologie à support H _C ^c (L). On donne ici une condition nécessaire, portant sur la cellule C, pour que ce $\mathfrak{g}$-module possède un sous-quotient simple de dimension finie. On en déduit une formule pour la caractéristique d’Euler–Poincaré de L sur X et une estimation (exacte pour certains cas dont celui de la variété des coniques complètes) des groupes de cohomologie supérieure H ^d(X, L), d ≥ 0.