Einstein manifolds with convex boundaries

Abstract.

Let $({\rm M, \partial M})$ be a compact m+1-manifold with boundary with an Einstein metric g ₀, with ric _g0 = —mg ₀ and with pinched negative curvature, such that $\partial {\rm M}$ is convex and umbilical. Let h ₀ be the induced metric on $\partial {\rm M}$. Then any metric close enough to h ₀ is induced on $\partial {\rm M}$ by an Einstein metric g with ric _g = —mg on M. A similar (but slightly weaker) result applies to Ricci-flat manifolds.¶¶Résumé. Soit $({\rm M, \partial M})$ und m+1-variété compacte à bord, munie d'une métrique d'Einstein g ₀, avec ric _g0 = —mg ₀ et à courbure négative pincée, telle que $\partial {\rm M}$ est convexe et ombilique. Soit h ₀ la métrique induite sur $\partial {\rm M}$. Alors toute métrique susamment proche de h ₀ est induite sur $\partial {\rm M}$ par une métrique d'Einstein g avec ric _g0 = —mg sur M. Un résultat similaire (un peu plus faible) s'applique aux variétés Ricci-plates.