Theory of congruence in gravitational fields III.

Abstract

The inversion part of the holonomy group, which is a good physical symmetry group locally, is investigated. It is shown that the existence of inversions depends on the topological properties of the gravitational field (supposed to be a Riemannian manifoldM _n). ThereforeM _n is defined to be a differentiable manifold and the Theorem on parallelism is extended to this case. It is shown that ifM _n is orientable then Ψ is a subgroup ofSO(n) and ifM _n is nonorientable then Ψ is a subgroup ofO(n). More precisely there exists a homomorphismh: π₁(M _n →O(n)/SO(n), where π₁ (M _n) is the first homotopy group ofM _n and the topologically invariant classification of gravitational fields according to factor groups of π₁ (M _n) is physically meaningful. Besides some simple examples space forms of zero and constant positive local curvature are classified. For example, there exists an infinity of 3-dimensional forms of positive curvature but local space inversion is not a good operation in either of them. It is also pointed out that physical space is not simply a Riemannian manifoldM _n but a fibre bundle overM _n. Therefore the theory of fibre bundles with structure group over a differentiable manifold is used.

Резюме

Исследуется инверсионная часть голономной группы Ψ, являющейся локально физической симметрической группой. Показывается, что существование инверсии зависит от топологических свойств гравитационного поля (предполагается, что гравитационное поле представляет собой множество РиманнаM _n). С этой цельюM _n определяется как лифференцируемое множество. Оказывается, что и в этом случае имеет место теорема параллелизма. Показывается далее, что еслиM _n — направляемое множество, то Ψ является подгруппой группыSO(n) и еслиM _n — ненаправляемое, то Ψ является подгруппой группыSO(n). Точнее, существует гомоморфизмh: π₁(M _n )→O(n)/SO(n), где π₁(M _n — первая гомотопная группаM _n и топологически инвариантная классификация гравитационных полей по отношению факторных групп группы π₁(M _n имеет физический смысл. Наряду с этим рассматриваются некоторые простые примеры пространственной формы нулевой и постоянной положительной локальной кривизны. Например, существует бесконечность трехмерной формы положительной кривизны, но локальная пространственная инверсия не является правильной операцией в любом из них. Показывается также, что физическое пространство нельзя считать просто множеством РиманнаM _n, оно является волокнистым пучком надM _n. Поэтомы применяется теория волокнистых пучков со структурной группой над дифференцируемом множеством.