Plane wave method with a modified potential field

Abstract

A new method is developed for the determination of the energy band spectrum of metal electrons. An essential advantage of the method is that it applies plane waves. This is made possible by the introduction of a “repulsive” potential, which takes care of the high kinetic energy of the eigenfunction oscillating in the neighbourhood of the nuclei. Thus the valence electrons can be treated as if they filled the Brillouin zones gradually from the lowest Brillouin zone. This also means that in this model the eigenfunctions of the metal electrons can be well approximated by the linear combination of a few plane waves. The number of the rows and columns of the secular equations arising at the degenerate points in the neighbourhood of the boundaries of the Brillouin zones is low. The problems associated with the repulsive potential in the matrix components of the secular equation are investigated in detail. It is shown that these matrix components are such that they do not alter the qualitative structure of the secular equation. The value of the matrix components of the Hamiltonian varies in the Brillouin zone from place to place. This fact considerably increases the numerical work as compared to the older free-electron model. As compared to the newer methods, however, this disadvantage, is not peculiar to the method presented here as they, although for other reasons, also involve tedious numerical work.

Резюме

В работе выработан новый метод для определения зонного спектра электронов в металлах. Существенное преимущество метода, что он пользуется чистыми плоскими волнами. Это достигается тем, что в случае плоских волн вводится дополнительный потенциал для возмешения больъой кинетической энергии собственных функций, осцилирующих в близости атомных ядер. Таким образом электроны проводимости можно трактовать так, как будто бы они заполняли зоны Бриллюэна постепенно, начиная от низшей. Это эначит, что собственные функции металлических электронов хорошо аппроксимируются комбинацией нескольких плоских волн. Степень секулярных уравнений на вырожденных местах вблизи границы зон Бриллюэна является низкой. Детально исследованы в работе проблемы секулярного уравнения в связи с дополнительным потенциалом. Показано, что матричные элементы дополнительного потенциала таковы, что они не изменяют качественную структуру секулярного уравнения. Значение матричных элементов гамилтониана меняется в зоне Бриллюэна с места на место. Этот факт значительно увеличивает объем исчислительной работы по отношению к старшей модели со свободными электронами. По отношению к более новым методам, это не является недостатком, так как — хотя по этой причине — там встречается подобное же положение.