Determination of electrostatic potentials by series

Abstract

By using the solutions of eigenvalue problems often occurring in the various fields of theoretical physics the method of series, already used in certain cases for solving the Poisson equation, has been reformulated. In case the charge distribution can be expressed by the Dirac δ-function, the potential distribution can be given in the form of a series, the convergence of which is sufficiently rapid. For simple cases the formulae can be analytically reduced to the known solutions of corresponding problems (e. g. in the case III/1). In other cases (III/2) the calculated potential distribution coincides with the potential distribution obtained by electrolytic tank measurements. In the case of the cylinder lens of electron optics (III/3) the method yields the potential distribution and the corresponding electrode shape for arbitrary slit width.

Резюме

Мы реформулировали метод рядов для решения уравнения Пуассона, пользуясь решениями задач по собственным эначениям, часто встречающихся в разных областях теоретической физики. Эсли распределение заряда соответствует д-функции Дирака, то решение получается в форме одного, довольно хорошо сходящегося ряда. В простых случаях наши решения аналитически трансформируемы в хорошо известные решения (напр. в случае III/1). В других случаях (III/2) вычисленное распределение потенциала совпадает с полученным из измерений в электролитическом ванне. В случае электроноптической цилиндрической линзы, (III/3) наш метод дает распределение потенциала для какойлибо ширины щели и соответствующую форму электродов.