Fonction de corrélation propre et spectre de la densité de puissance du bruit thermique écrêté. Filtrage de signaux périodiques, simples, dans ce bruit

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Nous partons d'une tension de bruit, à spectre continu, uniforme, limité à une pulsation ω₀=2πf₀. Pour simplifier l'écriture, nous prenons, pour unité de tension, l'ecart type de cette tension de bruit. La fonction de corrélation propre de celle-ci est alorsr =sin ω₀τ/ω₀τ. L'écrêteur est un appareil non linéaire, qui substitue au spectre borné primitif un spectre infini (points anguleux). La détermination de la fonction cherchée, après écrêtage, a été poursuivie par deux méthodes. Une première méthode statistique, approchée, indiquée parM. Ville, et une seconde méthode, purement mathématique, dite de la fonction caractéristique. La première, après une série de calculs numériques, a abouti à la construction de diverses courbes intermédiaires, et, finalement, au réseau cherché de courbes donnant la fonction de corrélation, pour cinq valeurs du taux d'écrêtage. La méthode de la fonction caractéristique, de son côté, a donné l'expression de la fonction cherchée, sous la forme d'une série entière, convergente, suivant les puissances croissantes der, les coefficients successifs étant proportionnels, respectivement, au carré de la fonction d'erreur et à celui de ses dérivées successives d'ordre impair. Une formule, due àMehler, sur les séries de produits de polynômes d'Hermite, nous a permis de remplacer cette série par une intégrale définie, assez simple, puis, par la somme de quelques fonctions tabulées ou aisément calculables numériquement.

D'autre part, la densité spectrale de puissance est la transformée deFourier de la fonction de corrélation. En utilisant la série qui donne celle-ci, nous montrons que le spectre, après l'écrêtage, est la superposition du spectre uniforme, borné, qui existe avant l'écrêtage (avec réduction des ordonnées), et d'un spectre de moindre intensité, continu et monotone, qui s'étend, en décroissant rapidement, jusqu'aux fréquences infinies, avec un seul maximum, pour ω=f=0.

Enfin, nous étudions le filtrage d'un signal périodique, rectansulaire, dans le bruit, par passage dans un appareil corrélateur, l'ensemble signal plus bruit étant écrêté. L'écrêteur est un appareil non linéaire, par suite son effet sur l'ensemble signal plus bruit n'est pas égal à la somme de ses effets sur le signal et sur le bruit, considérés séparément. La méthode de la fonction caractéristique permet encore d'aboutir au but cherché. On obtient la fonction de corrélation propre de l'ensemble, sous la forme de sommes de séries entières, convergentes, suivant les puissances croissantes der. Pour étudier le filtrage, (τ→∞), il suffit de prendre, dans ces séries, les termes indépendants der. On voit alors que, pour τ assez grand (régime permanent), la fonction de corrélation est représentée par des triangles isoccles, périodiques, dont la hauteur décroît à mesure que l'on écrête davantage.