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sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali

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Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940)

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  1. Non si esclude che le funzioni qui considerate possano in punti di (a,b), costituenti insiemi di misura nulla, diventare infinite cfr.C. Severini,Sulle funzioni sommabili [Atti della Accademia Gioenia di Scienze Naturali in Catania, serie IV, voi. XX (1907), Memoria XII]. Le funzioni medesime potrebbero anche essere definite soltanto nei punti di un insieme misurabile (di misura non nulla) con- tenuto in (a,b).

  2. W. Stekloff,Sur la théorie de fermeture des systèmes de fonctions orthogonales dépendant ďun nombre quelconque de variables [Mémoires de ľAcadémie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, vol. XXX, n° 4 (1911), pp. 1–86].

    Google Scholar 

  3. G. Lauricella,Sulla chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali e dei nuclei delle equazioni integrali [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma), voi. XXI, serie V, I° semestre 1912, pp. 675–685]. Le considerazioni svolte in questa Nota per il caso che siap(x)=I, valgono senz’altro se in generale si supponep(x) misurabile, limitata, ed avente un limite inferiore maggiore di zero.

  4. S’intende, come è noto, un sistema di funzioni ortogonali, che, associato al sistema dato, forma con questo un sistema chiuso di funzioni ortogonali [cfr.G. Lauricella, loc. cit. 3), §§ 1–3].

  5. Cfr.G. Lauricella,Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXIX (I° semestre 1910), pp. 155–163]. Anche le considerazioni di questa Nota, relative al caso dip(x) = I, si estendono immediatamente al caso chep(x) soddisfi alle condizioni generali dianzi dette.

  6. Ľequivalenza delle due definizioni è stata già da me rilevata [loc. cit. 6), a), § 5].

  7. Cfr.C. Severini,Sulle successioni di funzioni ortogonali [Atti della Accademia Gioenia di Scienze Naturali in Catania, serie V, vol. III (1910), Memoria XIII].

  8. Cfr.H. Lebesgue,Le·ons sur ľintégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier- Villars, 1904), chap. VII, § VI.

  9. Cfr.C. Severini, loc. cit. 13), § 4.

  10. Cfr.H. Lebesgue,Le·ons sur les séries trigonométriques (Paris, Gauthier-Villars, 1906), chap. IV, n° 53.

  11. Cfr.E. W. Hobson,On Change of the Variable in a LebesgueIntegral [Proceedings of the London Mathematical Society, Series II, vol. VIII (1910), pp. 10–39].

  12. Cfr.H. Lebesgue, loc. dt. 16), chap. IV, n° 49, pp. 90–93.

  13. Perchè i termini della (26) abbiano significato qualunque sia x in (a,b), possiamo intendere leV k (x) continuate oltre questo intervallo, ponendo, per ogni x non appartenente ad (a,V):

  14. Cfr.:H. Weyl, loc. cit. 8), § 7;M. Plancherel, loc. cit. 12), § 2; C. Severini, loc. cit. 6), a), § 3.

  15. Cfr.L. Fejér,Untersuchungen Hier Fouriersche Reiben [Mathematische Annalen, Bd. LVIII (1904), pp. 51–69]. P. 52.

  16. Cfr.H. Weyl, loc. dt 8), § 7.

  17. Cfr.:E. Fischer, loc. cit. 12):H. Weyl, loc. cit. 8), § 7:M. Plancherel, loc. cit. 12), § 2.

  18. Cfr.G. Lauricella, loe. cit. 3), §§ I e 3.

  19. E. Heine,Hanibuch der Kugelfunctionen: Théorie und Anweniungen (Berlin, G. Reimer), Band I, 2. Auflage (1878), Abschnitt II.

  20. Cfr.E. Heine, loc. cit. 28). Cfr. anche:E. W. Hobson,On the Representation of a Function by a Series of Legendre’s Functions [Proceedings of the London Mathematical Society, Series II, vol. VII (1909), pp. 24–39]:C. Severini,Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie di funzioni sferiche di prima specie [Atti della Accademia Gioenia di Scienze Naturali in Catania, serie V, voi. II (1909), Memoria VIII].

  21. Cfr.W. Stekloff, loc. cit. 2), parte I, § 16.

  22. Cfr.G. Lauricella, loc. cit. 5), § 3.

  23. Cfr. É. Goursat,Recherches sur les équations intégrales linéaires [Annales de la Faculté des Sciences de ľUniversité de Toulouse, IIe série, tome X (1908), pp. 5–98], p. 50.

  24. Cfr.H. Lebesgue, loe. cit. ’14), chap. VII, § VI.

  25. Cfr. la nota 8).

  26. Si potrebbero per questa via ritrovare i risultati da me in altro modo ottenuti per il caso di una funzione f(x) limitata, integrabile nel senso di Riemann. Cfr.:C. Severini,Sulla rappresentazione analitica delle funzioni reali discontinue di variabile reale (tre Note) [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XXXIII (1897–1898), pp. 1002–1023: vol. XXXIV (1898–1899), pp. 325–345, 518–534];Sulla rappresentazione delie funzioni reali di variabili reali mediante serie di polinomi ragiona li interi [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XIV (1900), pp. 157–179].

  27. Cfr. § 3. Cfr. anche loe. cit. 6), a), § 6.

  28. Cfr.:L. Fejér, loc. cit. 21):H. Lebesgue, loc. cit. 16), chap. IV, pp. 92–96.

  29. Cfr. IOC. Cit. 12).

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  1. Catania

    Carlo Severini

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  1. Carlo Severini
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Severini, C. sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali. Rend. Circ. Matem. Palermo 36, 177–202 (1913). https://doi.org/10.1007/BF03016024

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