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References
G. Castelnuovo,Sugľintegrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare [Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei (Roma), vol. XIV, I° semestre 1905, pp. 545–556, 593–598, 655–663] pp. 593 e seguenti.
F. Severi,Il teorema ďAbel sulle superficie algebriche [Annali di Matematica pura ed applicata, serie III, tomo XII (1905), pp. 59–69], pag. 5, n° I.
Salvo eccezioni determinate che fra poco esamineremo. ľesempio di un caso dubbio si ha se tI = m — I, t2 = ... = t5 = o. Allora ogni gruppo relativo al numero [w — i, m — I: r] conta in essodue volte secondo le nostre convenzioni, mentre contieneuna sola coincidenza diM. Il dubbio allora si toglie osservando che la M è in tal caso simmetrica e che il punto in cui cade la coincidenza coincide con due dei suoi corrispondenti: esso deve perciò contaredue volte e non una nel gruppo delle coincidenze.
Si può adoperare la formòla (10) di Severi, Memoria citata 6), pag. 16, modificata col’aggiunta di 2γρ nel I° membro, perchè la corrispondenza rappresentata dalla nostra formola (io) non ha valenza zero, ma γ
Ad esempio se si considera la γ formata dalle coppie di punti appartenenti ai gruppi ďuna serie lineareg1/3 sopra una curva di genere 2. Ognuno dei gruppi dellag1/3 è un ciclo di 3ΰ ordine per la γ1/2 considerata.
In sostanza (fatta eccezione per ľordine dell’involuzione e per la sua costruzione) noi abbiamo dimostrato che gľintegraliI π+1,I π+2,...,I p sono riducibili come nell’Osservazione Ia del n° 3. Ciò è conseguenza ďun noto teorema di PoincarÉSur les intégrales dbéliennes [American Journal of Mathematics, vol. VIII (1886), pp. 289–342], § 2, pag. 305.
La dimostrazione di questi casi particolari (e anche del caso generale) si può presentare sotto forma geometrica. Essa allora nei casi particolari considerati non differisce sostanzialmente da quella data daR. Torelli Sulle curve di genere due contenenti una involuzione ellittica [Rendiconti della Reale Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, serie III, vol. XVII (1911,), pp. 412–4191, ni 2, 3. 4, 5
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An erratum to this article is available at http://dx.doi.org/10.1007/BF03016045.
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Comessatti, A. Sulle serie algebriche semplicemente infinite di gruppi di punti appartenenti ad una curva algebrica. Rend. Circ. Matem. Palermo 36, 35–57 (1913). https://doi.org/10.1007/BF03016011
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