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References
L. H. Rice,P-way Determinants [American Journal of Mathematics, Vol. XL (1918), pp. 242–262], p. 246.
Cfr.M. Legat,Produit de déterminants de classes impaires [L’Intermédiair,e des Mathématiciens, Vol. XXVI (1919), p. 80 et pp. 140–143]. — On conçoit aisément, etRice le met en lumière [loc. cit. 1), p. 255], que, à part une très heureuse simplification des notations, les pénédéterminants ne sont autres fonctions que celles queL. Gegenbauer [Einige Sätze über Determinanten höheren Ranges, Denkschriften der K. Akademie der Wissenschaften in Wien, math.-naturw. Klasse, Bd. LVII (1890), pp. 735–750, § II] et nous-même [Leçons sur la théorie des déterminants à n dimensions (Gand, Hoste, 1910), p. 109] avions dénomméesdéterminants-permanents.
D’aprèsL. H. Rice, loc. cit. 1), p. 249. Nous écrivons la formule d’une manière un peu plus explicite que cet auteur.
La base est ordonnée pour déterminer les signes dont il faut affecter les composants, mais non (il est à peine nécessaire de le faire observer) pour trouver les signes des termes des composants eux-mêmes, opération pour laquelle on peut, en vertu du théorème deCramer-Bezout [cfr. la note 3)], choisir un rang ordonnateur quelconque, signant ou non. Le signe d’un terme n’est pas altéré si l’on permute ses éléments, pourvu que le nombre des indices signants soit pair.
A. Cayley,On the notations and properties of certain fonctions resolvable into a series of determinants [Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. VIII (1842–1849), pp. 85–88];The Collected Mathematical Papers Vol. I (Cambridge, University Press, 1889), pp. 75–79;Ueber Determinanten höheren Ranges [Denkschriften der K. Akademie der Wissenschaften in Wien, math.-naturw. Klasse, Bd. XLIII, Abt. II (1882), pp. 17–32];L. Gegenbauer,Einige mathematische Theoreme [Sitzungsberichte Akademie Wissenschaften Wien, IIa Abt., Bd. CII (1893), pp. 549–564], p. 562, § 5;Cayley [loc. cit. 4)]. Cfr.M. Lecat, loc. cit. 4). La décomposition fut traitée d’une manière encore incomplète dans notreAbrégé de la théorie des déterminants à n dimensions (Gand, Hoste, 1911), pp. 28–30; il n’y est donné qu’un seul mode de décomposition pour les déterminants de classe impaire en composants de classe paire ou impaire, et la décomposition des déterminants de classe paire en déterminants à un indice non-signant n’est pas abordée.
Les composants sont donc, comme le montreE. R. Hedrick,On Three Dimensional Determinants [Annals of Mathematics, (2), Vol. I (1899–1900), pp. 49–57], pp. 51–52, des permanents ou des déterminants suivant qu’on décompose par normales ou par files signantes. C’est ce queE. Waelsch Ueber eine geometrische Behandlungsweise der Elemente der Determinantentheorie [Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. IX (1898), pp. 207–214], p. 214, avait exprimé antérieurement, mais avec une tout autre terminologie. Cfr.L. H. Rice, loc. cit. 1), pp. 245–244.
Nous avons considéré ce cas particulier, dès 1910. Cfr.Leçons 4), p. 35.
On pourrait de même étendre au cas des pénédéterminants la propriété, plus générale (cfr. nosLeçons 4), pp. 79–81), relative aux déterminants ayant des strates identiques, mais non toutes.
L. H. Rice, loc. cit. 1), pp. 252–254.
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Lecat, M. Sur la décomposition des pénédéterminants et déterminants. Rend. Circ. Matem. Palermo 44, 69–81 (1920). https://doi.org/10.1007/BF03014595
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