Skip to main content
SpringerLink
Log in

Topologie des contingents et paratingents

  • Memorie e Comunicazioni
  • Published:
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940)

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

References

  1. Cf.:Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, [Paris, Vuibert (1932)];Mirguet,Nouvelles recherches sur les notions infinitésimales directes du premier ordre [Annales de l’École Normale Supérieure, t. 51 (1934), p. 201–244];Pauc,De quelques propriétés locales des continus euclidiens [Comptes Rendus, Paris, t. 203 (1936), p. 29–32]; notons encore la belle étude de MM.Busemann etFeller,Krümmung seigenschaften konvexer Flächen [Acta Mathematica, t. 66 (1936), p. 1–47], qui peut être considérée comme un chapitre important de la géométrie infinitésimale directe.

    Google Scholar 

  2. Cf.:Haupt,Über ebene Punktmengen mit überall unendlicher Krümmung [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. 175 (1936), p. 221–223];Roger [Comptes Rendus, Paris, t. 201, (1935), p. 871–873; t. 202 (1936), p. 377–380 et p. 1403–1405].

    MathSciNet  Google Scholar 

  3. Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, Ch. X;Essai sur l’unité des métbodes directes [Bruxelles (1933)], p. 56.

  4. Roger,Les propriétés tangentielles des ensembles euclidiens de points [Acta Mathematica, t. 69 (1937), p. 20];Saks,Sur quelques propriétés métriques d’ensembles [Fundamenta Mathematicae, t. 26 (1936), p. 237].

    MathSciNet  Google Scholar 

  5. Bouligand,Introduction à la Géométrie infinitésimale directe, p. 2;Le rôle de la théorie des groupes en géométrie infinitésimale directe [Enseignement mathématique, Genève, t. 36 (1937)], p. 9 et suivantes;Structure des théories [Actualités scientifiques et industrielles, Exposés d’histoire et de philosophie des sciences, Hermann, Paris, t. 548 (1937)].

  6. Kurventheorie [Teubner, Leipzig und Berlin, (1932)].

  7. Voir:Über Kontinua von endlicher Relitivordnung [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. 167 (1931), p. 20–39];Über die Struktur gewisser abgschlossener Punktmengen [Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (1932), p. 71–78];Zum Verteilungssatz der Strukturtheorie reeller Gebilde [Monatshefte für Mathematik und Physik, t. 46 (1937), p. 84–92]; etc.

  8. Fréchet,Les espaces abstraits [Gauthier-Villars, Paris (1928)], p. 163.

    MATH  Google Scholar 

  9. Autres définitions admissibles de la distance chezHausdorff,Mengenlehre, [Berlin und Leipzig (1927)], p. 102;Hahn,Reelle Funktionen [Leipzig (1932)], p. 141.

  10. Cf.:Borsuk etUlam,Produits symétriques d’espaces topologiques [Bulletin of the American Mathematical Society, t. 37 (1931), p. 875–882].

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  11. «Compact» étant entendu au sens deMenger,Kurventheorie, p. 17; équivaut à «compact en soi» dans la terminologie deM. Fréchet,Les espaces abstraits, p. 69.

  12. Pour la définition de la connexité d’un ensemble, voir:Fréchet,Les espaces abstraits, p. 175;Menger,Kurventheorie, p. 19;Hausdorff,Mengenlehre, p. 150. Leurs définitions présentent des formes différentes, mais sont équivalentes [Cf.27)].

  13. Pour la définition d’un composant, voir:Fréchet,Les espaces abstraits, p. 228; nous convenons que le nombre de composants d’un ensemble vide est zéro.

  14. Dénomination due àM. M. Haupt etNöbeling; la démonstration qui suit est, dans son essence, due àM. Nöbeling.

  15. « Induzibel » en allemand. Voir:Menger,Kurventheorie, p. 57.

  16. Menger,Kurventheorie, p. 51.

  17. Il s’agit du «Reduktionssatz» (Menger,Kurventheorie, p. 57). Notre raisonnement est la généralisation immédiate de celui par lequel on établit l’existence d’un sous-continu deK irréductible entre deux points.

  18. Définitions de Lim. inf. et Lim. sup. d’une suite d’ensembles chezMenger,Kurventheorie, p. 43.

  19. Menger,Kurventheorie, p. 19.

  20. Hausdorff,Mengenlehre, p. 223.

  21. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, t. 51, (1934), p. 211.

  22. Hausdorff,Mengenlehre, p. 161.

  23. Fréchet,Les Espaces abstraits, p. 180–181.

  24. La notion d’espace deLinfield fini est à rapprocher de celle de « graphe » (Dénes König,Theorie der endlichen uni unendlichen Graphen, Leipzig, 1936); toutes deux rendent les mêmes services dans les questions de connexité.

  25. Fréchet,Les Espaces abstraits, p. 175.

  26. Hahn,Reelle Funktionen, p. 151.

  27. Pauc, Comptes Rendus, t. 206 (1938), p. 566.

    Google Scholar 

  28. Hausdorff,Mengenlehre, p. 158.

  29. Introduits comme espaces auxiliaires parPauc [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 64 (1936), p. 225].

    MathSciNet  Google Scholar 

  30. Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, p. 38.

  31. Cest-à-dire l’image continue d’un segment (Streckenbild) dans un espace distancièH); nous pouvons toujours admettre queK est considéré lui-même comme espace. Pour les propriétés des continus deJordan, voirMenger,Kurventheorie, p. 27–40.

  32. Avec M. Menger [Kurventheorie, p. 13]

  33. Voir:Hausdorff,Mengenlehre, p. 157.

  34. Voir:Hausdorff,Mengenlehere, p. 157 et 207.

  35. Menger,Kurventheorie, p. 239.

  36. Menger,Kurventheorie, p. 247.

  37. Cf.:Menger,Kurventheorie, p. 220.

  38. Hausdorff,Mengenlehre, p. 161.

  39. Hausdorff,Mengenlehre, p. 152; prop. V.

  40. Van der Wärden,Moderne Algebra [Berlin, Springer, (1931), p. 24].

    Book  Google Scholar 

  41. Hausdorff,Mengenlehre, p. 198, prop. VI.

  42. Menger,Kurventheorie; p. 63.

  43. En allemand: Zusammenhangszahl (Menger,Kurventheorie, p. 68).

  44. Menger,Kurventheorie, p. 99.

  45. M. Menger,Kurventheorie, p. 158, remarque déjà qu’une extrémité ne peut être point de morcellement (définition p. 153), ce qui est notre proposition pourm = 1.

  46. Menger,Kurventheorie, p. 96–99.

  47. Cf. le raisonnement deMenger,Kurventheorie, p. 153. Ce résultat peut s’obtenir aussi comme conséquence des propositions 1 et 2.

  48. Menger,Kurventheorie, p. 154.

  49. Menger,Kurventheorie, p. 264.

  50. Menger,Kurventheorit, p. 68–69.

  51. Menger,Kurventheorie, p. 323.

  52. Menger,Kurventheorie, p. 304.

  53. Menger,Kurventheorie, p. 70.

  54. Menger,Kurventheorie, p. 310.

  55. Menger,Kurventheorie, p. 69.

  56. Menger.Kurventheorie, p. 266.

  57. Menger,Kurventheorie, p. 260.

  58. Il suffit de considérer que Kp+1 a été obtenu en juxtaposant suivant leprocédé normal d’Alexandroff [Mathematische Annalen, t. 96 (1926), p. 513] successivement B1, B1, ..., Bp+l*. Cf.:Menger,Kurventheorie, p. 69.

    Google Scholar 

  59. Cf.:Menger,Kurventheorie, p. 69.

  60. Menger,Kurventheorie, p. 63.

  61. Menger,Kurventheorie, p. 64–65.

  62. Pauc, Comptes Rendus Paris, t. 204 (1937), p. 839. Pourn = 2, voir:Pauc, Comptes Rendus Paris, t. 203 (1936), p. 153 et Bulletin de la classe des Sciences de l’Académie Royale de Bruxelles, t. 22 (1936), p. 968.

    Google Scholar 

  63. Menger, Mathematische Annalen, t. 103 (1930), p. 481.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  64. Par application de la prop. VI, p. 198,Hausdorff,Mengenlehre.

  65. Pauc, Comptes Rendus, Paris, t. 204 (1937), p. 839; Bulletin de la classe des Sciences de l’Académie Royale de Bruxelles, t. 22 (1936), p. 973.

    Google Scholar 

  66. Sur les continus d’ordre borné, Acta Mathematica, t. 55 (1930), p. 85.

  67. Un résumé de cet article se trouve dans notre note aux Comptes Rendus, Paris, t. 204 (1937), p. 840–841.

  68. Pauc, Comptes Rendus Paris, t. 206 (1938), p. 567, L’accumulatif complet s’oppose ici à l’accumulatif restreint deBlanc, Comptes Rendus, Paris, t. 196 (1933), p. 171.

    Google Scholar 

  69. Pauc, Comptes Rendus, Paris, t. 206 (1938), p. 1243.

    Google Scholar 

  70. Appert, Bulletin de la Classe des Sciences de l’Académie de Bruxelles, t. 23 (1937), p. 135.

    Google Scholar 

  71. C’est-à-dire d’une famille pouvant être utilisée pour reconnaitre si xi est point d’accumulation d’un ensemble deH) [Cf.:Fréchet,Les espaces Abstraits, p. 172].

  72. Menger,Kurventheorie, p. 51;Pauc, Bulletin de la classe des Sciences de l’Académie de Bruxelles, t. 22 (1936), p. 976.

  73. Hausdorff,Mengenlehre, p. 163.

  74. Pauc, Comptes Rendus, Paris t. 206 (1938), p. 1244.

    Google Scholar 

  75. Nous empruntons cette dénomination àM. Haupt Qui l’a introduite dans la référence à notre note des Comptes Rendus, Paris, t. 204 (1937), p. 839, au Jahrbuch für die Fortschritte der Mathematik, (1937).

    Google Scholar 

  76. Pauc, Comptes Rendus, Paris, t. 204 (1937), p. 840.

    Google Scholar 

  77. Introduction à la géométrie infinitésimale directe, p. 72.

  78. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, t. 51 (1934), p. 200.

  79. Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, p. 76–77.

  80. Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, p. 78.

  81. Mathematische Annalen, t. 103 (1930), p. 481.

  82. Hahn,Reelle Funktionen, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1932), p. 177.

    Google Scholar 

  83. Bouligand, Bulletin de la Société mathématique de France, t. 60 (1932), p. 237.

    MathSciNet  Google Scholar 

  84. Θ peut aussi être rendu compact selon un procédé du àM. Fréchet (Espaces abstraits, p. 223–224) par adjonction d’un seul élément; cette altération de Θ ne change rien à la définition de 221

  85. Cf.Bouligand, Annales de l’École Normale Supérieure, t. 51 (1934), p. 249.

    MathSciNet  Google Scholar 

  86. Prop. 21-7-2, p. 154;Hahn,Reelle Funktionen.

  87. Hahn,Reelle Funktionen, p. 151;Bouligand, Comptes Rendus, Paris, t. 196 (1933), p. 1767. Le théorème sous forme abstraite chez:Pauc, Comptes Rendus, Paris, t. 206 (1938), p. 567.

  88. Hahn,Reelle Funktionen, p. 151, prop. 21-3-4

  89. Pauc, Comptes Rendus, Paris t. 206 (1938), p. 1243.

    Google Scholar 

  90. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, t. 51 (1937), p. 217.

  91. L’Enseignement mathématique, t. 36 (1937), p. 26–27.

  92. Bouligand,Introduction à la géométrie infinitésimale directe, p. 66.M. Roger dans sa Thèse [Acta Mathematica, t. 69 (1938), p. 102] propose la dénomination de «faisceau dérivé».

  93. Bouligand. Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 60 (1932), p. 237. Remarquons que, par contre le contingent circulaire [Bouligand,Introduction à la Géométrie infinitésimale directe, p. 115] n’est pas interprétable dans notre théorie.

    MathSciNet  Google Scholar 

  94. Dissertation, Vienne (1932); voir aussi:Pauc, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei.

  95. Morcellement (selonHausdorff,Mengenlehre, p. 150) = décomposition en deux ensembles non-vides et séparés [Cf.27)].

  96. Tout ce qui a été dit jusqu’à ce point s’applique au cas d’un espace voisinage quelconque; la propriétéb est vérifiée pour toute correspondance multiforme φ jouissant de la (s. c. i.)inf. ou de la (s. c. i.)sup [Pauc, Comptes Rendus Paris, t. 206 (1938), p. 565]. Nous ne savons pas par contre sic reste valable, même sous l’hypothèse de la parfaite compacité en soi de M [Fréchet,Les espaces abstraits, p. 195].

  97. Hausdorff,Mengenlehre, 1ere édition (1914), chapitre relatif à la connexité;Menger,Kurventheorie, p. 244.

  98. Hausdorff, référence précédente.

  99. Kurventheorie, p. 153–154.

  100. Menger,Kurventheorie, p. 164.

  101. Menger,Kurventheorie, p. 164.

  102. Menger,Kurventheorie, p. 97.

  103. Menger,Kurventheorie, p. 127.

  104. Bouligand,Introduction á la Géométrie infinitésimale directe, p. 111.

  105. Hausdorff,Mengenlehre, p. 146;Kuratowski,Topologie, Varsovie (1933), p. 89.

  106. Fund. Math., t. 18 (1932), p. 148–159.

  107. Fund. Math., t. 17 (1931), p. 249–282.

  108. Fund. Math., t. 17 (1931), p. 240 à 248.

  109. D’après une remarque très simple et très profonde deM. M. Tarski etKuratowski (référence précédente, p. 240), cet ensemble étant défini à l’aide de fonctions propositionnelles projectives est projectif.

  110. Fund. Math., t. 17 (1931), p. 250–251, ainsiG = ensemble ouvert,F = ensemble fermé,A = ensemble analytique, ....

  111. Nous ne prétendons pas par là que la classe ainsi obtenue soit la plus restreinte. Cf.: Fund. Math., t. 17 (1931), p. 252, remarque (4) en bas de la page.

  112. Fund. Math., t. 18 (1932), p. 152. Nous ne donnons par la suite qu’assez peu d’explications, car nous reproduisons à peu près le raisonnement de M. Kuratowski dans le cas d’une correspondance jouissant de la (s. c. i.)inf. ou de la (s. c. i.)sup.

  113. D’après une remarque deM. Kuratowski [Fund. Math., t. 17 (1931), p. 254, note1] la projection d’un Gδ et a fortiori d’un Fσδ, peut, l’axe de projection étant complet, être non-borélienne.

  114. En vertu d’un théorème deM. Sierpinski, Fund. Math., 13, p. 239.

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Roma

    C. Pauc

Authors
  1. C. Pauc
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Pauc, C. Topologie des contingents et paratingents. Rend. Circ. Matem. Palermo 62, 137–238 (1938). https://doi.org/10.1007/BF03013863

Download citation

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF03013863

Search

Navigation