Résumé
Le problème du plus court chemin avec contrainte supplémentaire dans un graphe G orienté apparaît dans beaucoup de situations pratiques. Dans les réseaux de Télécommunications, par exemple, les circuits téléphoniques sont routés au plus court chemin sous réserve que l’affaiblissement total le long de ce chemin soit inférieur à une limite donnée. Les méthodes lagrangiennes, utilisant la notion de dualité, permettent d’obtenir de bonnes solutions approchées et un encadrement de la solution optimale en se ramenant à la résolution d’une suite de problèmes de plus courts chemins classiques. Lorsque la solution optimale exacte est recherchée, on montre que l’on peut, sous certaines conditions, généraliser l’algorithme de Dijkstra (bien connu dans le cas particulier des problèmes de plus court chemin avec longueurs toutes positives). On examine ensuite le cas particulier où la contrainte supplémentaire concerne le nombre d’arcs du chemin. On montre enfin que le problème du plus court chemin avec contrainte est un problème fondamental de la théorie des graphes et on donne plusieurs exemples de problèmes qui lui sont équivalents.
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Bibliographie
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Minoux, M. Plus court chemin avec contraintes : Algorithmes et applications. Ann. Téléc. 30, 383–394 (1975). https://doi.org/10.1007/BF03004231
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF03004231