Deux applications nouvelles des relations entre transformées de Laplace et de Fourier: transformations non linéaires des signaux aléatoires, signaux aléatoires de renouvellement

Sommaire

Pour commencer, le passage d’une transformée de Laplace à la transformée de Fourier d’une distribution tempérée est traduit, dans toute sa généralité, au moyen d’une règle que l’on s’efforce de rendre entièrement systématique. la première application proposée a trait aux transformations non linéaires sans mémoire de signaux aléatoires; la description des caractéristiques de ces dernières par une transformée de Fournier prise au sens des distributions s’avère d’emblée bien plus profitable que la représentation traditionnelle fondée sur la transformée de Laplace. L’étude particulière qui est faite du cas gaussien permet, d’abord de généraliser, ensuite et surtout d’unifier dans une seule proprieté fondamentale de dérivation divers théorèmes établis antérieurement par des auteurs séparés et dans des cadres beaucoup plus restreints. La deuxième application a été choisie pour illustrer l’intérêt d’une règle de passage direct de l’image de laplace à celle de Fourier, dans des conditions où l’original luimême ne peut être atteint de manière explicite: il s’agit des signaux-distributions aléatoires associés à des processus de renouvellement, pour lesquels la transformée de Laplace de la covariance est aisément accessible d’après la théorie donnée, alors même que l’expression de la covariance ne semble pas susceptible d’une formulation simple. La règle de passage évoquée permet par contre de décrire la distribution spectrale énergétique du signal directement depuis la loi des intervalles du processus générateur, en usant de la fonction caractéristique de ces derniers. Un appendice groupe les transformations non linéaires les plus usuelles, en les décrivant par la paire: caractéristiques de transfert-transformêe de Fourier.