Résumé
Les deux propriétés caractéristiques essentielles de la fractalité sont l’invariance d’échelle et le processus arborescent de construction. Ces deux propriétés font de la fractalité un phénomène aux bords d’une structure géométrique dont l’étude se révèle en général aisée. Cette situation conduit à mettre en évidence que la fractalité est attachée à une propriété algébrique universelle, à savoir la nilpotence. Cette approche particulière de la fractalité permet de faire appel à un corpus mathématique moderne existant. Ce corpus conduit à élaborer une analyse fractale qui reste certes à développer dans tous ses détails (calcul différentiel non commutatif sur les structures feuilletées, opérateurs paraboliques associés aux structures de contact, opérateur de Poisson généralisé) mais dont on perÇoit le contenu général. Par ailleurs, le cadre ainsi créé renvoie à des conjectures sur la structure fine de l’espace-temps de la physique microscopique opérateurs de Heisenberg) qui se révèle également applicable à une nouvelle ingénierie et à la physique macroscopique.
Abstract
Major features of fractality are scale invariance and tree growing. Both features relate fractal as phenomena of boundary behavior. A mathematical analysis leads to the fact that all properties can be fitted using a universal algebraic property of nilpotence. It appears that the actual corpus of mathematical tools could be used to describe the fractality even if several tools require additional développements such as differential calculus on folded manifolds, parabolic and hyperbolic operators for contact structures,⋯). In addition, the mathematical analysis support the conjectures concerning the fine structure of the space time which must be applied in microphysics but also in macrophysics. Key words: Fractal system, Mathematics, Mathematical physics, Tree structure, Mathematical analysis, Conformal transformation, Analytical function.
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Cet article a fait l’objet d’une communication à l’Ecole thématique “L’arithmétique, la topologie et la physique du bruit de fréquence des oscillateurs: progrès récents en métrologie et modélisation” qui s’est tenue du 31 mars au vendredi 5 avril 1996 à la Chapelle-des-Bois, France. Un numéro desAnnales des télécommunications (50, n° 7–8, 1996) lui est déjà consacré.
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Riot, P., Kahlem, L. & le Méhauté, A. Les fondements géométriques et algébriques de la fractalité 1. Ann. Télécommun. 51, 567–572 (1996). https://doi.org/10.1007/BF02997718
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02997718