Skip to main content
SpringerLink
Log in

Automorphic forms and automorphy preserving differential operators on products of halfplanes

  • Published:
Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Aims and scope Submit manuscript

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Bibliography

  1. N. H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, J. reine u. angew. Math.2 (1827),3 (1828)=Oeuvres I, pp. 63–388.

    Google Scholar 

  2. O. Blumenthal, Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen, Math. Ann.56 (1903), 509–548, Math. Ann.58 (1904), 497–527.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  3. T. Bright, Rational expressions of certain automorphic forms, Mich. Math. J.17 (1970), 129–137.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  4. G. Claus, Die Randmannigfaltigkeiten und die “tiefsten” Punkte des Fundamentalbereichs für drei Hilbertsche Modulgruppen, Math. Ann.176 (1968), 225–256.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  5. Harvey Cohn, A computation of some bi-quadratic class numbers, Math. Tables and other Aids to Comp.12 (1958), 213–217.

    Article  MATH  Google Scholar 

  6. Harvey Cohn, Decomposition into four integral squares in the fields of 21/2 and 31/2, Amer. J. Math.82 (1960), 301–322.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  7. Harvey Cohn, Calculation of class numbers by decomposition into three integral squares in the fields of 21/2 and 31/2, Amer. J. Math.83 (1961), 33–56.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  8. Harvey Cohn, Cusp forms arising from Hilbert's modular functions for the fields of 31/2, Amer. J. Math.84 (1962), 283–305.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  9. Harvey Cohn, On theta-functions for certain quadratic fields, Acta Arithmetica9 (1964), 53–66.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  10. Harvey Cohn, On the shape of the fundamental domain of the Hilbert modular group, Theory of Numbers, Proc. Sympos. Pure Math., Vol.8, Providence, R.I., 1965, pp. 190–202.

    Google Scholar 

  11. Harvey Cohn, A numerical survey of the floors of various Hilbert fundamental domains, Math. Comp.19 (1965), 594–605.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  12. Harvey Cohn, Some elementary aspects of modular functions in several variables, Bull. Amer. Math. Soc.71 (1965), 681–704.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  13. Harvey Cohn, Note on how Hilbert modular domains become increasingly complicated, J. Math. Analysis and Applications15 (1966), 55–59.

    Article  MATH  Google Scholar 

  14. Harvey Cohn, A numerical study of topological features of certain Hilbert fundamental domains, Math. Comp.21 (1967), 76–86.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  15. Harvey Cohn, Some computer-assisted topological models of Hilbert fundamental domains, Math. Comp.23 (1969), 475–488.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  16. H. Cohn andG. Pall, Sum of four squares in a quadratic ring, Trans. Amer. Math. Soc.105 (1962), 536–556.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  17. N. G. de Bruijn, Over Modulaire Vormen van Meer Veranderlijken, thesis, University of Amsterdam, 1943.

  18. Giulio Carlo di Fagnano, Produzioni matematiche,2 (1750), Pesaro, and Giorn. de'letterati d'Italia19, p. 483;22, p. 229;24, p. 363;26, p. 266.

  19. F. Götzky, Über eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veränderlichen, Math. Ann.100 (1928), 411–437.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  20. K. B. Gundlach, Über die Darstellung der ganzen Spitzenformen zu den Idealstufen der Hilbertschen Modulgruppe und die Abschätzung ihrer Fourierkoeffizienten, Acta Math.92 (1954), 309–345.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  21. K. B. Gundlach, Poincarésche und Eisensteinsche Reihen zur Hilbertschen Modulgruppe, Math. Zeit.64 (1956), 339–352.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  22. K. B. Gundlach, Modulfunktionen zur Hilbertschen Modulgruppe und ihrer Darstellung als Quotienten ganzer Modulformen, Arch. Math.7 (1956), 333–338.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  23. K. B. Gundlach, Ganze Nichtspitzenformen der Dimension — 1 zu den Hilbertschen Modulgruppen reell-quadratischer Zahlkörper, Arch. Math.7 (1956), 453–456.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  24. K. B. Gundlach, Über den Rang der Schar der ganzen automorphen Formen zu hyperabelschen Transformationsgruppen in zwei Variablen, Göttinger Nachr. Nr.3 (1958).

  25. K. B. Gundlach, Quotientenraum und meromorphe Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe, Göttinger Nachr. Nr.3 (1960).

  26. K. B. Gundlach, Some new results in the theory of Hilbert's modular group, Contributions to Function Theory, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1960, pp. 165–180.

    Google Scholar 

  27. K. B. Gundlach, Die Bestimmung der Funktionen Hilbertschen Modulgruppe des Zahlkörpers\(Q(\sqrt 5 )\), Math. Ann.152 (1963), 226–256.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  28. K. B. Gundlach, Die Fixpunkte einiger Hilbertscher Modulgruppe, Math. Ann.157 (1965), 369–390.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  29. K. B. Gundlach, Zusammenhänge zwischen Modulformen in einer und in zwei Variablen, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, II Kl. No.5 (1965).

  30. K. B. Gundlach, Die Bestimmung der Funktionen zu einigen Hilbertschen Modulgruppen, J. reine und angew. Math.220 (1965), 109–153.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  31. W. F. Hammond, The modular groups of Hilbert and Siegel, Amer. J. Math.88 (1966), 497–516.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  32. E. Hecke, Zur Theorie der Modulfunktionen von zwei Variabeln und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Math. Ann.71 (1912), 1–37.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  33. E. Hecke, Über die Perioden vierfach periodischer Funktionen, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. (1915), 81–112.

  34. E. Hecke, Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe von algebraischen Zahlkörpern, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. (1921), 1–23.

  35. E. Hecke, Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. I Teil., Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg1 (1921), 102–126.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  36. E. Hecke, Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II Teil, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg3 (1924), 213–236.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. E. Hecke, Vorlesungen über die Theorie der Algebraischen Zahlen, (reprinted) Chelsea Publishing Co., New York, 1948.

    Google Scholar 

  38. Oskar Hermann, Über Hilbertsche Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung, Math. Ann.127 (1954), 357–400.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  39. Oskar Hermann, Eine metrische Charakterisierung eines Fundamentalbereichs der Hilbertschen Modulgruppen, Math. Z.60 (1954), 148–155.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  40. A. Hurwitz, Über die Differentialgleichungen dritter Ordnung welchen die Formen mit linearen Transformationen in sich genügen, Mathematische Werke, Bd.I, Basel., 1932, pp. 287–294; Math. Ann.33 (1889), 345–352.

    Google Scholar 

  41. C. G. J. Jacobi, Über die Differentialgleichungen, welcher die Reihen\(2^4 \sqrt q + 2^4 \sqrt {q^9 } + 2^4 \sqrt {q^{25} } + etc.\). genüge leisten, Gesammelte Werke, Bd. 2, Springer-Verlag, Berlin, pp. 171–190; J. reine und angew. Math.36 (1848), 97–112.

    Google Scholar 

  42. J. Kirmse, Zur Darstellung total positiver Zahlen als Summen von vier Quadraten, Math. Z.21 (1924), 195–202.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  43. H. Kloosterman, Theorie der Eisensteinschen Reihen von mehreren Veränderlichen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg6 (1928), 163–188.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  44. H. Kloosterman, Theta-Reihen in total-reellen alg Zahlkörpern, Math. Ann.103 (1930).

  45. H. Maass, Konstruktion ganzer Modulformen halbzahliger Dimension mit ϕ-Multiplikatoren in zwei Variablen, Math. Z.43 (1938), 709–738.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  46. H. Maass Über Gruppen von hyperabelschen Transformationen, Sitz.-Ber. der Heidelb. Akad. der Wiss. Math.-nat. Kl. 2 Abh. (1940).

  47. H. Maass, Zur Theorie der automorphen Funktionen vonn Veränderlichen, Math. Ann.117 (1940), 538–578.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  48. H. Maass, Über die Darstellung total positiver Zahlen des KörpersR \(R(\sqrt 5 )\) als Summe von drei Quadraten, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg14 (1941), 185–191.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  49. H. Maass, Modulformen und quadratische Formen über dem quadratischen ZahlkörperR \(R(\sqrt 5 )\), Math. Ann.118 (1941), 65–84.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  50. H. Maass, Theorie der Poincaréschen Reihen zu den hyperbolischen Fixpunktsystemen der Hilbertschen Modulgruppe, Math. Ann.118 (1941), 518–543.

    Article  Google Scholar 

  51. H. Maass, Über die Erweiterungsfähigkeit der Hilbertschen Modulgruppe, Math. Z.51 (1948), 255–261.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  52. Hans Petersson, Über Differentialoperatoren und die Kroneckersche Potenzdarstellung bei automorphen Formen, J. reine und angew. Math.,231 (1968), 163–191.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  53. R. A. Rankin, The construction of automorphic forms from the derivatives of a given form, J. Indian Math. Soc.20 (1956), 103–116.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  54. R. A. Rankin, The construction of automorphic forms from the derivatives of given forms, Michigan Math. J.4 (1957), 181–186.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  55. H. L. Resnikoff, On differential operators and automorphic forms, Trans. Amer. Math. Soc.124 (1966), 334–346.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  56. H. L. Resnikoff, Differential equations for automorphic forms in several complex variables, Proc. Amer. Math. Soc.24 (1970), 492–296.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  57. H. L. Resnikoff, Generating some rings of modular forms in several complex variables by one element, Rice Univ. Studies56 No. 2 (1970), 115–126.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  58. H. Shimizu, On discontinuous groups operating on the product of the upper half planes, Ann. Math.77 (1963), 33–71.

    Article  MATH  Google Scholar 

  59. C. L. Siegel, Lectures on Advanced Analytic Number Theory, Tata Institute of Fundamental Research Bombay, 1961.

  60. B. Van Der Pol, On a non-linear partial differential equation satisfied by the logarithm of the Jacobian theta-functions, with arithmetical applications, I, II, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. Ser. A. 54=Indag. Math.13 (1951), 261–271, 272–284.

    Google Scholar 

Download references

Authors
  1. H. L. Resnikoff
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Research supported in part by NSF grant GP 19011.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Resnikoff, H.L. Automorphic forms and automorphy preserving differential operators on products of halfplanes. Abh.Math.Semin.Univ.Hambg. 38, 168–198 (1972). https://doi.org/10.1007/BF02996931

Download citation

  • Received:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02996931

Keywords

Search

Navigation