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Considérations sur la représentation et l’analyse harmonique des signaux déterministes ou aléatoires

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Annales Des Télécommunications Aims and scope Submit manuscript

Sommaire

On adopte le formalisme de Dirac pour étudier le « signal » élément d’un espace vectoriel abstrait, et ses « représentations », formes linéaires attachées au choix d’une base. Sont traitées comme des opérateurs les transformations linéaires subies par le signal, ce qui conduit à mettre en relief, lors de leur étude, la dualité des représentations dans le temps et en fréquence. Une attention particulière est portée sur les signaux aléatoires abstraits et leur statistique de second ordre, qui fait appel à la notion de signal moyen et d’opérateur de covariance; leur traitement linéaire par filtrage se traduit par des relations entre vecteurs et opérateurs (Formule de la moyenne et Formule des interférences). L’étude de la répartition spectrale de grandeurs énergétiques permet de faire entrer dans un cadre unique l’analyse harmonique des signaux déterministes et aléatoires, tout en mettant en évidence le sens physique des relations entre leurs représentations. On évoque enfin l’intérêt qu’il y aurait à considérer des fonctions de corrélation (cas déterministe) et des covariances (cas aléatoire) réduites sans dimension, les deux notions venant alors se confondre pour tous les types de signaux intéressants du point de vue physique.

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Abbreviations

→:

tend vers

∈:

appartient à

⊂:

est inclus dans

⇒:

implique

∀:

quel que soit

⊗:

produit tensoriel

(X* Y):

produit de convolution de X et Y

⇆:

transformée de Fourier

¦X¦:

module de X

‖X‖:

norme de X

[a, b]:

intervalle fermé (a, b)

¦X >:

ket ou vecteur contravariant

< X¦:

bra ou vecteur covariant

< X¦Y >:

bracket ou produit scalaire entre vecteurs

< t¦X > = X(t):

représentation-temps du signal ¦X >

< ν¦X > = x(ν):

représentation-fréquence du signal ¦X >

X* (t):

fonction complexe conjuguée de X(t)

X# (t) = X* (−t):

fonction adjointe

<X, Y >:

forme linéaire (ou produit scalaire fonctionnel)

A :

opérateur linéaire

A†:

opérateur adjoint

[A, B] = AB −BA :

commutateur

1 :

opérateur identité (ou neutre)

Dt :

opérateur de dérivation-temps

E {X }:

espérance mathématique deX

ε0 :

espace des signaux fondamentaux

ε:

espace-signal

F :

filtre linéaire

H(t):

réponse percussionnelle

h(ν):

gain complexe

Γ:

opℰateur de covariance

Γ(τ):

covariance stationnaire

γ(ν):

distribution spectrale

L2 :

espace des fonctions de carré sommable

PT :

opérateur de projection (ou projecteur)

ΠT (t):

fonction projectrice

πT (ν) = 2T:

sin 27πνT/2πνT⇆ ΠT

R :

ensemble des nombres réels

S:

espace des fonctions à décroissance rapide

Tτ:

opérateur de translation-temps

TrA :

trace de l’opérateurA

W2 :

espace fonctionnel de Besicovitch

Ω:

opérateur de corrélation

m. q:

en moyenne quadratique

stoch:

stochastique

resp:

respectivement

Re Z:

partie réelle deZ

δ:

distribution de Dirac

i. e:

c’est-à-dire

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Authors and Affiliations

  1. Centre d’Étude des Phénom`enes Aléatoires (CEPHAG) (associé au C. N. R. S.) 46, avenue Félix Viallet, 38, Grenoble

    Georges Bonnet

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  1. Georges Bonnet
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Bonnet, G. Considérations sur la représentation et l’analyse harmonique des signaux déterministes ou aléatoires. Ann. Télécommun. 23, 62–86 (1968). https://doi.org/10.1007/BF02996234

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02996234

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