L’arithmétique sur une surface percée

Résumé

L’article rappelle les principes de l’approximation diophantienne des nombres réels par des nombres rationnels. La mesure de cette approximation et le contexte général de la théorie de Markoff sont donnés, de même qu’est décrite la structure hyperbolique sous-jacente qui modélise la géométrie des formes quadratiques associées. La théorie de Markoff s’interprète alors comme décrivant les géodésiques situées au bord du trou d’un tore percé. On rappelle également l’interprétation géométrique sur une sphère percée du nombre de classes de formes quadratiques. Plus généralement le lien est fait avec les surfaces de Riemann et les théories de Teichmuller et Thurston pour les surfaces fermées de caractéristique d’Euler Poincaré négative.

Abstract

This article gives the principles for diophantine approximation of real numbers by rationals. The measure of the approximation is given, with the general context for Markoff theory. The hyperbolic structure modelling the geometry of quadratic forms associated is presented. The Markoff theory is then interpreted as giving the geodesics bordering the hole of a punctured torus. The geometric interpretation of the class number of quadratic forms on a punctured sphere is also given. More generally, the link is made with Riemann surfaces and the theories of Teichmuller and Thurston for closed surfaces of negative Euler Poincaré characteristic.