Structure des bifurcations d’un endomorphisme du cercle en lui-même dans un plan de parametres

Analyse

L’auteur étudie la transformation du cercle en lui-même définie par$Tx_n = x_n + \Omega - \frac{K}{{2\pi }}\sin (2\pi x_n )$ (mod. 1). Il fait apparaître dans une partie du plan des paramétres (K, Ω) la structure des bifurcations qui est constituée par une coexistence entre la structure boîtes en files obtenue lors de l’etude d’un difféo-morphisme du cercle en lui-même et la structure boîtes emboîtées obtenue lors de l’étude d’un endomorphisme uni-dimensionnel défini par un polynôme du second ou troisième degrè.

Abstract

One studies the bifurcations structure of the endo-morphism of the circle into itself T defined by :$Tx_n = x_n + \Omega - \frac{K}{{2\pi }}\sin (2\pi x_n )$ (mod. 1) in a part of the parameter plane (K, Ω). One makes appear a mixing between two bifurcations structure : the boxes in files one which appears in dijfeomorphisms of the circle and the box within a box one which appears in one-dimensional endomorphism defined by a polynomial of second or third degree.