Convergenza in variazione e convergenza in lunghezza

Riassunto

Si dimostra che la convergenza inlunghezza, di una successione di funzionif _n (x) verso una funzionef(x), è equivalente alla convergenza invariazione per ogni λ reale dellef _n (x)+λx allaf(x)+λx.

Si dà inoltre una condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione a variazione limitata sia assolutamente continua.

Résumé

On établit le suivant theorème: Pour qu’une suite de fonctionsf _n (x) soit convergente enlongueur vers une fonctionf(x) il faut et il suffit que la suitef _n (x)+λx soit convergente envariation pour toute λ réelle versf(x)+λx.

On donne aussi une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction à variation bornée soit absolument continue.