Ein Scholion zum Satz 90 von Hilbert

Zusammenfassung

Der Satz 90 von Hilbert ist ein elementares und rein algebraisches Resultat, das aber eine bedeutsame Rolle in der Zahlentheorie spielt. SeiK/k eine galoissche Erweiterung endlichen Grades, und sei G die Galoisgruppe vonK/k. In Hilberts “Zahlbericht” von 1897 findet sich die Feststellung, daß H^-1 (G, K ^x) = 1 gilt, falls G zyklisch ist. Dies wurde 1919 von A. SPEISER zuH ¹ (G,K ^x ) = 1 für beliebigesG verallgemeinert. Daß sich andererseits die Gültigkeit von H^-1 (G, K ^x) = 1 nicht auf beliebiges G verallgemeinern läßt, wurde bisher anscheinend nirgends thematisiert. Diese Lücke hier zu schließen, gelingt allerdings nur unter Heranziehung zahlentheoretischer Hilfsmittel. Am Schluß erfolgt noch eine kurze Kommentierung bestimmter Arbeiten von A. SPEISER, I. Schur und E. Noether, die auf Hilberts Satz 90 direkten Bezug nehmen.