Bayesian estimation of means in a three component hierarchical design with random effect model

Summary

The problem of estimating the means in a three component hierarchical random effect model y_ijk = μ + α_i + β_ij + e_ijk is considered from a Bayesian view point. Posterior distributions of α_i and β_ij are obtained under the assumptions that the α_i are independently drawn from N(O,σ ²₃ ), the β_ij are independently drawn from N(O,σ ²₂ ) and the e_ijk are independent random errors from N(O,σ ²₁ ) and adopting a non-informative reference prior distribution for μ, σ ²₁ , σ ²₂ , σ ²₃ . Various features of these posterior distributions are compared with the posterior distributions for a fixed effect model.

Zusammenfassung

Das Problem der Schätzung der Mittelwerte in einem hierarchischen Dreikomponenten-Modell mit Zufallseffekten wird vom Bayes’schen Standpunkt aus betrachtet: y_ijk = μ + α_i + β_ij + e_ijk A-posteriori-Verteilungen von α_i und β_ij erhält man unter der Annahme, daß α_i aus N(O,σ ²₃ ) und β_ij aus N(O,σ ²₂ ) unabhängig gezogen werden, und daß e_ijk unabhängige Zufallsfehler von N(O,σ ²₁ ) sind, und unter der Annahme einer nicht-informativen Referenz-a-priori-Verteilung für μ, σ ²₁ , σ ²₂ , σ ²₃ .

Verschiedene Merkmale dieser a-posteriori-Verteilung werden mit der a-posteriori-Verteilung eines Modells mit festen Effekten verglichen.

Résumé

Le problème de l’estimation des moyennes dans un modèle hiérarchique à trois composants et avec des effets aléatoires est considéré d’un point de vue baysien. Ce modèle est le suivant: y_ijk = μ + α_i + β_ij + e_ijk Des distributions a-posteriori de α_i et de β_ij résultent partant des hypothèses que les α_i sont tirés de N(O,σ ²₃ ) et les β_ij de N(O,σ ²₂ ) d’une facon indépendante dans les deux cas et que les e_ijk sont des erreurs aléatoires indépendantes de N(O,σ ²₁ ) et en adaptant un distribution non-informative de référence a priori pour μ, σ ²₁ , σ ²₂ et pour σ ²₃ .

Plusieurs caractéristiques de cette distribution a-posteriori sont comparées avec la distribution a-posteriori pour un modèle avec des effets fixes.

Резюме

Проблема оценки средних в иерархической модели трех компонент со случайными эффектами рассматривается с баесовой точки эрения: y_ijk =μ +α _i +β _ij + e_ijk Апостериорные распределения от α_i и β_ij получаются при предположении, пто α_i из N(O/б ²₃ ) и β_ij из N(O/б ²₂ ) извлекаются независимо и что e_ijk являются независимыми случайными ошибкамн от N(O/б ²₁ ) и при предположении неинформативного референционного априорного распределения для м, б ²₁ , б ²₂ , б ²₃ . Разные отличительные черты этого апостериорного распределения сравняются с апостериорным распределением модели с фиксированкымы эффектами.